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Suiq 2 = 2mr 2 + r*2m 

 und die Summe der je mit der entsprechenden Constan- 

 ten multiplizirten Quadrate der Abstände der Punkte des 

 Systems ist somit für den Schwerpunkt ein Minimum, — 

 für jeden von ihm equidistanten Punkt aber gleich gross. 



Denkt man sich aber die Werthe, welche einer Grösse 

 durch verschiedene Beobachtungen gegeben werden, auch 

 im Räume ausgebreitet, so entspricht offenbar der wahr- 

 scheinlichste Werth für dieselbe, d. h. der Ort, welcher 

 dem arithmetischen Mittel der Beobachtungswerthe zu- 

 kömmt, dem frühern Schwerpunkte. Die Entfernungen 

 der Punkte von dem Schwerpunkte werden nun durch 

 die Abweichungen der Beobachtungswerthe von dem Mit- 

 tel ersetzt, — die Constanten sind sämmtlich gleich 1, wenn 

 den Beobachtungen gleiche Güte zugeschrieben werden 

 muss , sonst sind es die Factoren, welche sie auf gleiche 

 Güte reduciren, die sogenannten Gewichte. Es muss also 

 nach obigem Satze für den wahrscheinlichsten Werth die 

 Summe der mit den Constanten multiplizirten Fehlerqua- 

 drate ein Minimum sein, — und dieser Satz bildet das 

 Fundament der Methode der kleinsten Quadrate. 



Bei dieser Gelegenheit sei mir noch die Bemerkung 

 erlaubt, dass nach meinem Dafürhalten jeder Versuch die 

 Zulässigkeit des arithmetischen Mittels zu begründen, von 

 vorn herein überflüssig erscheint. Ich glaube, dass nicht 

 leicht ein Princip von so überzeugender Kraft wie dieses 

 ist , ja dass es überhaupt kaum auf etwas Einfacheres und 

 Ersichtlicheres (und darin soll doch am Ende die Begrün- 

 dung bestehen) zurückgeführt werden kann. Das Einzige 

 was bei der ersten Aufstellung dieses Princips geschehen 

 soll, ist darauf aufmerksam zu machen, dass es auf der 

 Annahme beruht, die positiven und negativen Fehler seien 

 in gleichem Maasse vorhanden, — dass es daher nur An- 



