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in der steti gen Theilverhältnissgleichung, näm- 

 lich in der Gleichung : 



p : g = g : q 



mit der Voraussetzung p <q, ist g = Y~ pq grösser 

 als p und kleiner als q und dieser zusammengesetzte Zahl- 

 ausdruck heisst daher geometrisches Mittel zwi- 

 schen p und q, womit jedoch nicht behauptet wird, dass g 

 genau in die Mitte zwischen p und q, nach bildlichem 

 Ausdruck, sondern irgendwo in den Grössenabstand zwi- 

 schen p und q trifft. 



Beweis. Unsere Theilverhältnissgleichung lässt sich 

 mit Rücksicht auf die multiplicationsweise Erzeugung der 

 Folgeglieder aus den Vordergliedern auch so schreiben: 



p ; p. e — p. e \ p. e. e 



wo e als Quotient des Verhältnisses vorausgesetzt wird. 

 Da nun q = p. e. e und nach Voraussetzung q > p oder 



zweier harmonisch tönenden Saiten in sehr einfachen rationalen Ver- 

 hältnissen stehen, hat die Pythagoräer so begeistert, dass sie aus die- 

 sem einzigen Gesetz den Bau der Welt erklären zu müssen glaubten 

 und die musikalischen Verhältnisse unter Anderm auch in den Halb- 

 messern der Sphären der Planeten wiederfanden. Da nun beim Ueber- 

 gang vom Grundton zur tiefern Octave das Verhältniss der Saitenlän- 

 gen 1 : 2 ist, so entspricht das der tiefern Quint zugehörende Verhält- 

 niss 3 /2 dem arithmetischen, dasjenige der tiefern Quart % dem harmo- 

 nischen Mittel zwischen 1 und 2. Denn es ist ( 4 /3 — 1) : (2 — */$ 

 = 1:2. Einzig diesem Umstände hat das harmonische Mittel seinen 

 Namen zu verdanken. Merkwürdiger Weise scheinen die Alten das 

 der grossen Terz entsprechende Verhältniss 5 /4 nicht gekannt zu haben. 

 Nach dem, was Bökh darüber sagt, zu schliessen, wurde die ganze 

 Tonleiter in Zahlen einzig aus den Verhältnissen 1 : 2 und 2 : 3 nach- 

 construirt. — In der Lehre von den Kegelschnitten wird die harmoni- 

 sche Theilung einer Geraden ACBD, so dass AC : AD — CB : BD, schon 

 von Apollonius angewendet, jedoch nicht mit einem besondern Namen 

 bezeichnet. (£. Schläfli.} 



