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p. e. e > p so folgt e. e > 1 und daher e >> 1. Damit 

 gewinnen wir : Beide Verhältnisse einer stetigen Theilver- 

 hältnissgleichung sind steigend, wenn die grössere der 

 zwei ungleichen Zahlen an der vierten Stelle steht. 



Aus der Ungleichheit e >» 1 folgt weiter : p. e >> p 

 oder g>p und p. e << p. e. e oder g<q d. h. g ist ein 

 Mittel zwischen p und q wie zu beweisen war; aber 

 dieses Mittel ist nicht genau in der Mitte, sondern der 

 folgende 



2) Lehrsatz behauptet: In der stetigen Unter- 

 schieds verhältnissgleichung oder in der steti- 

 gen arithmetischen Proportion, nämlich in der 

 Gleichung: a — p == q — a ist das arithmetische Mittel 



a— y v : -, in die Mitte treffend zu p und q oder mit 



beiden Zahlen denselben Unterschied bildend; dieses Mit- 

 tel im strengen Sinne ist grösser als das geometrische 

 Mittel zwischen denselben zwei Zahlen p und q. Oder: 

 Das geometrische Mittel liegt näher an der kleinern Zahl 

 p oder macht mit dieser einen kleinern Unterschied als 

 mit q, so dass, bildlich gesprochen, dieses Mittel in die 

 untere Hälfte des Grössenabstandes der Zahlen p und q 

 trifft. 



Beweis. Mit Bücksicht auf die additionsweise Er- 

 zeugung der Folgeglieder aus den Vordergliedern lässt 

 sich unsere Gleichung auch so schreiben: pl(p + xp) = 

 gl(g-\-xg) wo x grösser als 1 oder kleiner als 1, ratio- 

 nal oder irrational sein kann, aber in beiden Verhältnissen 

 denselben Werth behält. Nun ist also g = p -f p x und 

 g>p soeben gefunden; daher x. g>>x. p welches der obige 

 Lehrsatz ist, und zwar wie der erste einzig aus der Na- 

 tur der Proportionen heraus bewiesen. 



