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3) Lehrsatz. Die stetige harmonische Proportion: 



q:p = q— h:h — p 

 mit derselben Voraussetzung q>p lasst sich für gegensatz- 

 lose (absolute) Zahlen gar nicht denken ohne dass h>p, 

 und h<q d. h. ohne dass h ein Mittel ist zwischen p 

 und q, welches daher harmonisches Mittel heisst, was also 

 keines weitern Beweises bedarf. 



Ohne Rechnung gibt aber diese Proportion den fol- 

 genden 



4) Lehrsatz. Das harmonische Mittel ist ebenfalls 

 kleiner als das arithmetische ; denn nach der Voraussetzung 

 ist qZ>p also muss auch q — h >> h — p sein; d. h. das 

 harmonische Mittel macht mit der grössern Zahl q einen 

 grössern Unterschied als mit der kleinern p und daraus 

 ist der nächste Schluss unser Satz. 



Nun fragt sich aber: In welchem Verhiiltniss steht 

 denn das harmonische Mittel zum geometrischen? Darauf 

 antwortet der 



5) Lehrsatz. Das harmonische Mittel ist auch kleiner 

 als das geometrische, und zwar in demselben Verhaltniss 

 kleiner, wie das geometrische kleiner als das arithmeti- 

 sche ■*) , denn für unsere drei Mittelgrössen gilt folgende 

 geometrische Proportion : 



^Y 3 -'. |/pq = |/M : -|JJ- oder a: g = g :h 



l ) In den Nouvelles Annales de Malhemaliques, V, 376, findet sich 

 eine diese Verhältnisse leicht zur Anschauung bringende graphische Dar- 

 stellung der drei Mittel, welche sich in folgenden Lehrsatz einkleiden 

 lässt : Zieht man in einem rechtwinkligen Dreiecke die der Itypotenuse 

 entsprechende Höhe und die zur Mitte der Hypotenuse führende Gerade, 

 und projicirt erstere auf letztere , so hat man das geometrische, 

 arithmetische und harmonische Mittel der durch die Höhe 

 gebildeten Abschnitte der Hypotenuse dargestellt (ß. Wolf.} 



