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rer conseculiven gebrauchen , so bekommen wir die drei 

 Gleichungen 



■O' 



dx dy dz 



e =dl = t^=T, • (18) 



durch welche zugleich die Form der Gleichung u = const. 

 im Sinne von §. 3 und die entsprechende Länge q der Nor- 

 male bestimmt werden. (Wenn die Gleichungen (10) durch 

 Differentiation in Beziehung auf u entstanden wären, so wäre 

 man durch deren Anwendung auf dieselben Gleichungen (18) 

 gekommen. Folglich geben diese, wie man übrigens auch 

 aus der quadratischen Form , die sie bei der Entwicklung 

 annehmen, ersieht, auch die Gleichung t — const. und die 

 entsprechende Länge £>' der Normale.) 



Die Gleichungen (18) sind leicht geometrisch zu bewei- 

 sen. Es seien nämlich QM , QM' zwei in den Punkten M, 

 M' an die gegebene Fläche gezogene Normalen, die im Punkte 

 Q sich schneiden ; und man ziehe aus einem beliebigen 

 Punkte zwei der Einheit gleiche gerade Linien ON, ON' 

 parallel mit jenen beiden Normalen , so ist das gleicbschenk- 

 liche Dreieck ONN' dem Dreieck QMM' ähnlich ; folglich 



ON : QM = NN' : MM' . 

 Und weil NN' und MM' parallel sind, so ist das Verhält- 

 niss derselben demjenigen ihrer Projectionen gleich. Da 

 nun ON = l, OM — p, und die Projectionen von NN', 

 MM' respeclive den Differentialen dX, da, dv; dx, dy, dz 

 gleich sind, so ergibt sich die Richtigkeit der Bedingungs- 

 gleichungen (18). 



Die Gleichungen (18) sind nur scheinbar drei an der 

 Zahl; denn wegen der Gleichung (17) und der Gleichung 

 Idl -+- pd/u + vdv = o , ist immer eine derselben die Folge 

 der beiden übrigen. Sie bestimmen daher nicht mehr als 

 das Verhältniss der Differentiale der beiden unabhängigen 

 Variabein und den Werth q der Normale. 



