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demnach wird 



JL = J_ cos.2 w -j- X sin. 2 w, (31) 



woraus sich sogleich ergibt, dass q, q' die kleinsten und 

 grössten Werthe von K sind. 



§. 11. Die beiden Systeme abwickelbarer Fachen, in 

 welche das System der Normalen der gegebenen krummen 

 Fläche zerfällt, schneiden nach dem Vorigen diese lezlere 

 in Cur v en gross ter und kleinster Krümmung , d. h. in sol- 

 che Curven, deren Elemente durchweg die Richtung der 

 grössten oder kleinsten Krümmung hahen. Da nun die 

 beiden Systeme abwickelbarer Flächen sich rechtwinklich 

 durchschneiden , so wird die gegebene krumme Fläche von 

 ihren sämmtlichen Curven grösster und kleinster Krüm- 

 mung in lauter rechteckige Elemente eingetheilL 



Die Ortsfläche für alle Mittelpunkte kleinster Krümmung 

 wird nach §. 5 berührt von der durch eine Normale und 

 die entsprechende Richtung der grössten Krümmung gelegten 

 .Ebene. Da nun die (andere charakteristische) Ebene, welche 

 durch eben dieselbe Normale und die Richtung der kleinsten 

 Krümmung gelegt ist, und daher auf der Vorigen senkrecht ist, 

 zwei conseculive Tangenten der charakteristischen Curve ent- 

 hält oder die osculirende Ebene derselben ist, so folgt hieraus, 

 dass diese charakteristische Curve eine kürzeste auf obiger 

 Ortsfläche sein müsse. Denn , damit eine Curve auf einer 

 krummen Fläche eine kürzeste sei, ist es nöthig und reicht 

 hin, dass in jedem Punkte jener Curve ihre osculirende 

 Ebene durch die Normale der krummen Fläche gehe. 



