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b 2 und i/> von b 2 bis a 2 wachsen, so erhält man den ach- 

 ten Theil der Oberfläche des Ellipsoids. 



§. 7. Rectification der Curve kleinster Krüm- 

 mung, Lauf und Rectification der kürzesten 

 Curve auf dem Ellipsoid. 



Wenn cp=za die Gleichung einer beslimmten Curve 

 kleinster Krümmung ist, so wird der Bogen derselben 

 durch das Integral 



f 



V W 



2V w 



ausgedrückt. Wird das Radical des Zählers in den Nenner 

 geschafft, so steigt hier \}j unter dem Wurzelzeichen auf 

 die fünfte Potenz. S lässt sich also nur in den Gränzfäl- 

 len, wo die Krümmungscurve in einen Hauptschnitt fällt, 

 auf elliptische Integrale zurückführen. Wenn a zwischen 

 c 2 und b 2 liegt, so wird für das reelle geschlossene Stück 

 der Krümmungscurve der Werth von i/> zwischen den bei- 

 den Gränzen b 2 und a 2 oscilliren , während S fortwährend 

 wächst. Die Natur der zwischen S und \f> bestehenden 

 Verknüpfung wird am deutlichsten , wenn man 



ip = a 2 sin 2 v-|-b 2 cos 2 v 

 setzt; denn dadurch erhält man 



wo das Radical stets einen positiven Werth behält und so- 

 mit S und v ununterbrochen mit einander fortschreiten , 

 während i/> oscillirt. 



Für die Function S giebt es noch ein zweites reelles 

 Gebiet , in dem sie sich bewegen kann , dem aber kein 

 reelles Stück der Krümmungscurve (#>=«) entspricht. Das- 

 selbe befindet sich zwischen \p=c 2 und Tp=zce. Da aber 

 das Zeichen \}j bisher für die zwischen b 2 und a 2 liegenden 



