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und zugleich , wenn w den Winkel bezeichnet , den dieses 

 Element mit der Curve kleinster Krürnmuug bildet, 



tang 2 w 



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i^di/^ 



W 



Wenn man , um die Gleichung der kürzesten Curve 

 zu bekommen , das Integral , welches den Werth von s 

 ausdrückt, nach cp und i/> zugleich variirt , so erhält man, 

 ds = |^"K setzend, zwei identische Gleichungen, die man 

 so schreiben kann, dass jede den Ausdruck dlogK zur 

 linken Seite hat. Durch Subtraction beider erhält man 

 eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die in einer 

 zur Integration passenden Form sich darbietet. Wenn man, 

 um abzukürzen, den Winkel w einführt, so ist das erste 

 Integral 



#)Cos 2 w + ^sin 2 w ==. v. , 

 wo a die arbiträre Integrationsconstante bezeichnet, welche 

 zwischen den Gränzen c 2 und a genommen werden muss. 

 Die letzte Gleichung kann auch so geschrieben werden : 

 , / a — cd 



und liefert dann die Differentialgleichung (erster Ordnung) 

 der kürzesten Curve , nämlich 



worin die Variabein gesondert sind. Liegt die Constante 

 a zwischen c 2 und b 2 , so kann sich cp nur zwischen den 

 Gränzen c 2 und a bewegen, hingegen ip hat seinen vollen 

 Spielraum von b 2 bis a '. In diesem Falle kann die kürzeste 

 Curve die beiden Curven kleinster Krümmung, welche durch 

 <p-=zc. bestimmt sind , nicht überschreiten ; sie wird vielmehr 

 dieselben bald diesseits bald jenseits des ersten Hauptschnitts 



