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berühren und im Allgemeinen unzählige Male um das El- 

 lipsoid herumgehen , ohne in sich selbst zurückzukehren. 

 — Im andern Falle, wenn die Gonstante a zwischen b 2 unda 2 

 sich befindet, so ist die Variable i/> zwischen u und a 2 einge- 

 schränkt , während die andere cp ihren vollen Spielraum hat. 

 Alsdann muss die kürzeste Curve die beiden Curven grössler 

 Krümmung , welche durch die Gleichung \p=a bestimmt sind, 

 berühren und zwischen denselben in der Richtung des dritten 

 Hauptschnitts um dasEUipsoid herumgehen. — Indem beson- 

 dern Falle , wo «=rb 2 ist, enthält die Gleichung der kürzesten 

 Curve elliptische Integrale der dritten Art. Die Curve gehl als- 

 dann durch zwei entgegengesetzte Kugelkrümmungspunkte 

 des Ellipsoids, wird aber bei jedem wiederholten Durchgang 

 durch einen derselben ihre Richtung geändert haben. 



Ich will jetzt für die Gleichnng der kürzesten Curve 

 einen kurzen synthetischen Beweis geben, indem ich mich 

 auf den Fall, wo a zwischen c 2 und b 2 liegt, beschränke. 

 Wenn man nämlich wieder auf die Functionen S und S / 

 zu Anfang dieses § zurückkömmt, so lässt sich das Element 

 des Bogens einer beliebigen Curve auf dem Ellipsoid auch 

 so ausdrücken : 



ds = = r ^(dS-hdS / ) 2 +4(«~^)(^-«)[ d</ -^7^] 2 ). 



Man denke sich nun zwei feste Punkte auf dem Ellipsoid, 

 und zwischen diesen eine beliebige Curve gezogen, so 

 wird das Integral des vorliegenden Ausdrucks, zwischen 

 den entsprechenden Gränzwerthen von g? und i/> genom- 

 men , die Länge dieser Curve richtig geben , welchen be- 

 sondern Werlh auch a haben mag, und zwar immer grös- 

 ser als S-|-S y , wenn dieser Ausdruck zwischen denselben 

 Glänzen genommen wird. Hieraus ergiebt sich sogleich 



J(S+Sj 



— — - — - — const. 

 da 



als Gleichung der kürzesten Curve auf dem Ellipsoid , in 



