Sur la podaire àk l'astéroïde. 3 



Puisque l'angle rectangle pmî se déplace de manière que le 

 côté pm enveloppe le pôle p et l'autre côté la courbe (ř), on a en 

 ma la normale de la podaire, et Ton voit de la figure (2) que 



pm — al =: lo. 



Si du point de courbure X de l'astéroïde (l) on abaisse la per- 

 pendiculaire Xq à la droite pi et du pied g la perpendiculaire qr 

 à la normale IX de l'astéroïde, la droite pr rencontre la normale ma 

 de la podaire au centre de courbure a demandé. 



Cependant le point d'intersection p reste, d'après la construction 

 que nous venons d'indiquer, indéterminé, si la normale de (m) passe 

 par le pôle p, c'est-à-dire, si les normales de (l) et (m) s'identifient 

 ce qui arrive pour les sommets de la podaire en question, et la con- 

 struction ne peut s'appliquer justement en cas où elle est de l'utilité 

 principale pour les tracés. 



Pour trouver ces positions limites de a-, désignons par qp l'angle 

 de la droite xy et de l'axe pX, et par ty l'angle de la normale ma 

 et de la perpendiculaire mp\ alors on trouve facilement de la 

 figure (2) 



px — xy cos qp, py zz xy sin qp, 

 my = lx — xy sin 2 qp, pm ■==. cc# sin (p cos (p, 



ml — xy (cos 2 qp — sin 2 qp), am — xy Vsin 4 (p -j- cos 4 qp — sin 2 qp cos 2 qp 

 pm sin qp cos qp 



COS Xp — — =: : 



am Vsin 4 qp -j- COS 4 qp — sin 2 qp COS 2 qp 



ou 



1 



COS if) 



Vtg 2 qp -f- cotg 2 qp — 1 



de laquelle résultent les valeurs correspondantes aux sommets de la 

 podaire : 



1. 9>=0; *=:90, 2. ç> = 45°; ^ = 0, 3 (p zz 90° ; i' = 90°. 



On trouve aussi de la figuiv (2.): 



Des triangles alp ->j qlX': 



-y- =z - — ou Ip . Iq z=,la . IX zz 3la, 



J? 



