Uebei- eine Anwendung der elliptischen Funktionen auf die Zahlentheorie. 3 



Für die so dofinierteu Zahlen gelten folgende Sätze (siehe Weber, 

 1. c.) 



(7) (D, n) . (D\ n) = (DD\ n), 



(8) (D, n) = (D, n'), wenn w = rí mod D. 



Aus der Theorie der quadratischen Formen werde ich nur den 

 folgenden Satz voraussetzen : Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl 

 N durch die Repräsentanten aller Klassen der positiven Formen von 

 der Diskriminante D (D eine negative Stammdiskriminante) ist 



(9) 2 J] (79, d); 



d 



d durchläuft in dieser Summe alle Teiler von N. Dabei sind die 

 Darstellungen durch die Form x~ -\- </ 2 , resp. durch die Form 



x 2 -j- xy 4- if- mit dem Gewichte ^-, resp. in Rechnung zu nehmen. 



Aus diesem Satze folgt sofort die Identität (wo Z) <C — 4 wie 

 immer im folgenden vorausgesetzt wird), 



£ £ g „.+ **+* _ 2 £ q N l£ (D, d) \ + h ; | «z,! < 1, 



Kl. a, y N \ d / 



ař,y=cO,± Ví±2,±3,...; 



# = 1, 2, 3 ... 



Das erste Summenzeichen links bezieht sich auf Repräsentanten 

 ax 2 -f- bxy -J- c// 2 , a'a; 2 -f- fr'icy -|- c'// 2 , . . . aller Klassen der positiven 

 quadratischen Formen der Diskriminante D. Das zweite Summen- 

 zeichen rechts hat dieselbe Bedeutung wie in (9) ; h bedeutet die An- 

 zahl der Klassen bei der Diskriminante D. 



: s h 



Die Thetafuuktionen von den Charakteristiken (1, 1), (t^Ö) 

 (0, 1), (0, 0) sollen mit ®(v), ^(v), ® 2 ( v )> ®Á V ) bezeichnet werden. 

 Es bedeutet also 



00 



& :i (v) = V q n2 cos 2mtv, 



q = e™, |SM<1. 



Besondere Wichtigkeit besitzen für uns die Formeln für die 

 Transformation 



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