Ueber eine Anwendung der elliptischen Funktionen auf die Zahlentheorie 7 



4*iJ±qm (5J(Aá)\, ^=1, 2, 3,..., 



w ' (/ durchläuft alle Teiler von N, 



woraus [und aus (1.0) und 1 14)J folgt 



& l-p, t I *i. *.v 



A7. a, 



Die Beziehung (18) verwandelt sich also in die folgende 

 (20) 2ni ( — Ä + VA (1), fc) ) — 2?r fc: ?£ £ £*«»+*» + *"> 



». .r,y 



'fr' ) 



Jetzt kann man auf zweierlei Weise vorgehen, je nachdem man 

 die Kenntnis der GAuss'schen Summen voraussetzen will oder nicht. 

 Im letzteren Falle genügt uns die Wahrnehmung, dass die rechte 



Seite von (20) eine mit — multiplizierte Potenzreihe von q x ist, was 



x 



wegen (15) evident ist. Daraus folgt, dass 



«/_* + £ *'(!),*)) 



' k ' 



Ttt 



Null ist, denn andernfalls würde rz: — , infolge von (20) als 



log 2i 

 eine Potenzreihe von q v welche für | q x \ <^ 1 konvergiert, darstell- 

 bar sein. 



Wir haben also 

 (21) * = 5}i(A*) Ä = 1 ' 2 ' •" ~ D ~ l 



h 



und durch Vergleich der rechten Seite von (20) mit der linken 

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