12 XX J. Sobotka: 



in H 1 und E 2 von PH X , beziehfungsweise PH 2 berührt wird und 

 durch F geht. Schnitten diese Wechselstrahlen in G a ',Gß', beziehungs- 

 weise N a ', Nß' die Geraden a, b so würde wieder der Schnitt von 

 Gr a ' Nß' mit Gß' N a ' einen Punkt R von t liefern, und wieder lägen 

 die Punkte G a \ G/, N a \ N/ A auf einem Kegelschnitte q, für welchen 

 t — RA Tangente in A wäre. 



Wir bemerken noch, dass der Kegelschnitt q die Geraden AH^, 

 AH 2 ausser in A noch in weiteren zwei Punkten schneidet, welche 

 auch dem Kegelschnitt m angehören. Denn istiTder Schnittpunkt von B X A 

 mit dem Kegelschnitt v, wobei im ersten Fall K=V, und sind G a , G r ; die 

 Schnittpunkte von AH^ mit a und b, so folgt aus dem Satz von Desargues 

 für das dem Kegelschnitt q eingeschriebene Viereck G a ' Gß' N a ' Nß, 

 dass die Punktepaare G a Gß, H X K auf AH X eine Involution bestimmen, 

 welcher auch die Schnittpunkte A, F mit q als ein Paar angehören.- 

 Da nun die Involution, in welcher der Büschel (vu) von AE X ge- 

 schnitten wird, mit der soeben erwähnten Involution identisch ist, so 

 ist F auch der Schnittpunkt von AE r mit u. 



Hat man die Tangente von u in A konstruiert, so kann man 

 gleich eine zweite Tangente t { angeben, welche durch den Punkt 

 t . P a Pß geht und von t durch P und P a Pß harmonisch getrennt ist. 

 Ihr Berührungspunkt A' liegt auf AP. Ermittelt man weiter etwa 

 den zu t . b in (ß) konjugierten Punkt 1, so schneiden sich \A und 

 PßA' in einem weiteren Punkte des Kegelschnittes u, was daraus 

 folgt, dass die Gerade 1 A als Polare von t . b den Pol von b inbe- 

 zug auf u enthält und dass also, da AA' } PßA' durch zwei konju- 

 gierte Punkte von (ß) gehen, die Gerade Pß A 4 von der Geraden 1 A 

 im Punkte F auf u getroffen werden muss. 



10. Wir wollen die Konstruktion des Kegelschnittes u, für 

 den die gegebenen Elemente teilweise imaginär sind, so zu- 

 stande bringen, dass wir u mit einem zweiten Kegelschnitt v 

 derart verknüpfen, dass dieser aus den gegebenen Stücken von u 

 leicht durch reelle Elemente dargestellt werden kann. Eine solche 

 Verknüpfung zweier Kegelschnitte kann auf Gruud folgenden Zusam- 

 menhanges hergestellt werden. Es sei ein Kegelschnitt v und eine 

 Punktinvolution (a) auf einer Geraden a gegeben. Die von jedem 

 Paare in («) ausgehenden Tangenten an v schneiden sich in vier neuen 

 Punkten und die Schnittpunkte, welche derart sämtliche Paare in (a) 

 liefern, bilden bekanntlich einen zweiten Kegelschnitt u, welcher durch 

 die Doppelpunkte der Involution (a) geht. 



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