Betracht, z. Konstr. v. Kegelschnitten aus teilweise imaginären Elementen. 15 



Konstruktion eines Kegelschnittes u, welcher durch zwei Paare 

 konjugiert imaginärer Punkte A, B und C, D und durch einen 

 reellen Punkt E gegeben ist. 



Es seien wieder die Punkte A, B und C, D Doppelpunkte 

 seiner elliptischen Involution («) auf a, resp. (ß) auf b. Wir wollen 

 wieder den von E verschiedenen Schnitt F der Geraden g durch E 

 mit dem gegebenen Kegelschnitt suchen. 



Zu dem Zwecke legen wir den Kegelschnitt v in gleicher Weise 

 wie zuvor fest. 



Wir konstruieren also zu dem Punkte G a = g . a den in (a) 

 konjugierten Gd und verbinden ihn mit E durch die Gerade h. Ha- 

 ben hier auch die Punkte P a , P ß die frühere Bedeutung, so sind die 

 Geraden P a C, P a D, b, g, h fünf Taugenten eines Kegelschnittes v, 

 wodurch derselbe bestimmt ist. Freilich sind da die Tangenten P a C, 

 P a D imaginär, aber als Doppelelemente der Strahleninvolution, welche 

 (ß) von P a aus projiziert, sind sie auch vollkommen bestimmt. Nach 

 Vorangehendem sind wir in der Lage weitere reelle Tangenten von v 

 linear zu konstruieren. 



Um den Punkt F zu -finden hat man somit die von h verschie- 

 dene Tangente l durch Gd an v zu legen; ihr Schnittpunkt mit G 

 ist F. 



Ist Gß der zu Gß = g.b in (ß) gehörige Punkt, so ist l auch 

 die Tangente an den Kegelschnitt, welcher die Geraden b, g, h, 

 p =r P a Pß y q = P a G r / berührt, und kann als solche mit Hilfe eines 

 Brianchonsechsseits ermittelt werden. Wählen wir das Sechsseit pqbhlg. 

 Zwei Diagonalen desselben sind a und RS, wenn R den Schnittpunkt 

 b . h und S den Schnittpunkt p . g bezeichnet. Somit geht durch den 

 Schnitt M von RS mit a die dritte Diagonale G/ M, welche die Ge- 

 rade g im gesuchten Punkt F schneidet. 



Dieser Konstruktion kann mann aber auch noch eine andere 

 Bedeutung beilegen. 



In der soeben beschriebenen Figur befindet sich nämlich das 

 einfache Sechseck EG a ' P a PßG/ F, dessen Gegenseiten sich in den 

 Punkten 



R — EGa' ■ Pß Gß\ 

 M = G a 'P a .Gß'F, 

 S=P a Pß . FE 



