Zar Konstruktion der Oskulationshyperboloide von Regelfläcben. 3 



Verfährt man in analoger Weise mit den Kegelschnitten in den 

 Ebenen A, C und den entsprechenden verknüpften Kegelschnitten a 1? 

 Cj, gelangt man in gleichfalls sehr einfacher Weise zu einem weite- 

 ren Punkte 2 der Ebene S. 



Als dritten Punkt von S konstruieren wir den Berührungspunkt 

 G der Ebene p S mit P und also auch mit H aus der projektiven 

 Beziehung zwischen der Punktreihe auf p und dem Büschel ihrer 

 Berührungsebenen, die ja gegeben ist, da wir die Berührungsebenen 

 in den Punkten A, B, C kenneu. 



Die Schnittpunkte von GO x mit den Ebenen A, B liegen auf 

 deren Schnittgeraden mit der Ebene Rp und sind ohneweiteis be- 

 stimmt. Ebenso bestimmt man die Schnittpunkte von G 2 mit den Ebe- 

 nen A und C. Damit bekommt man für die Spuren von S in den 

 Ebenen A, B, C die zu ihrer Konstruktion nötigen Punkte. Diese 

 Spuren sind die Polaren von S bezüglich der Kegelschnitte, in wel- 

 chen H die Ebenen A, B, C schneidet, und wir können somit jeden 

 von ihnen einzeln konstruieren, da wir für jeden ausser dem Punkt 

 auf p und seinem Oskulationskegelschnitt auch noch den zu diesem 

 Punkt harmonisch gelegenen Punkt inbezug auf S und die betreffende 

 Polare, sowie die Tangente in diesem Punkte kennen. 



Überdies ist die Gerade durch G in Sp, welche zu p harmonisch 

 liegt bezüglich des Punktes S und der Schnittgeraden von S mit Sp 

 die durch G gehende Erzeugende von H. 



2. Wir können eine Modifikation der soeben erläuterten Kon- 

 struktion vornehmen. Alle Hyperboloide L, welche P, also auch H, 

 längs p berühren und die Kegelschnitte a, b in A, resp. B osku- 

 lieren, bilden einen Flächenbüschel (cc), welchem auch H angehört. 

 Dieser Büschel ist eben durch die 8 Punkte A, A 1} A 2 , B, B 1 , B 2 , 

 C, C x festgestellt. Die Polarebenen aller Flächen des Büschels be- 

 züglich irgend eines Punktes Q a auf s bilden bekanntlich einen Ebe- 

 nenbüschel ; sie gehen also durch eine Gerade q, welche leicht 

 konstruiert werden kann. Man ermittelt den Punkt 0„ , durch den alle 

 Ebenen der Polaren von Q a bezüglich je zweier verknüpfter Kegel- 

 schnitte in A und B, welche a und binA, resp. Z? oskulieren, gehen, in 

 gleicher Weise, wie wir früher den Punkt O x konstruiert haben. 

 Durch diesen Punkt gehen die Polarebenen aller Flächen 2. Ordnung, 

 welche a und b in den Punkten A und B oskulieren; somit auch 

 die Polarebenen inbezug auf die Flächen in (u). Da alle Flächen in 

 (a) den Berührungspunkt Q der Ebene pQ a gemeinschaftlich haben, 

 so ist q bestimmt als Verbindungsgerade der Punkte Q und O y . . 



