Zur Konstruktion der Oskulationshyperboloide von Regelflächen. 5 



wir den Punkt R= T 2 auf s; die zugehörige Gerade t geht durch B und 

 liegt in der Berührungsebene t 2 p in B an (a), welch letzteres Er- 

 gebnis sich auch aus der früheren Konstruktion von 1 durch 

 Grenzübergang ergibt. Übrigens ist in (a) eine degenerierende 

 Fläche enthalten, deren Spur in B in das Geradenpaar t 2 . BHß 

 des durch B, B^ B 2 , Hß gehenden Kegelschnittbüschels (<jp) zerfällt. 

 Die Kegelschnitte von («) in A bilden einen Büschel (^); dieser geht 

 durch A, A^ dann durch den Punkt H a , in welchem A von der dem 

 Büschel (a) angehörenden Geraden geschnitten wird, welche Hß und 

 den Berührungspunkt von Hßp mit («) verbindet. Dieser Büschel 

 enthält also noch einen reellen Grundpunkt Z. Dem Geradenpaar t 2 , 

 BHß in (y) entspricht nun in (ti>) das Geradenpaar AH a , AT % . Also 

 liegt Z auf der Geraden AT 2 , und der zu T 2 bezüglich A und Z 

 harmonisch zugeordnete Punkt .ff ist somit zu T 2 konjugiert bezüglich 

 aller Flächen in (a). 



Kürzer hätten wir folgendermassen schliessen können. Die 

 Grenze, zu welcher die degenerierende Fläche in («) hinneigt, ist das 

 Ebenenpaar pHß, pT 2 . Die Polare von T 2 bezüglich dieses Ebenen- 

 paares ist die Ebene pT 2 ; sie enthält also auch die Gerade t und 

 schneidet somit jede Fläche von (a). in einem Kegelschnitt, für den t 

 Polare von T 2 ist. Da p ein Teil dieses Kegelschnittes ist, so ist 

 der zweite Teil die zu p harmonische Gerade gß bezüglich t und t 2 . 

 Diese Gerade gehört also jeder Fläche in (a) an. 



Nehmen wir jetzt in H statt Hß irgend einen anderen Punkt 

 Mß an ; dieser bestimmt mit den übrigen früher gewählten Punk- 

 ten einen neuen Büschel von Flächen 2. Ordnung (ß), und die 

 Polarebenen von T 2 bezüglich (ß) werden wieder durch eine feste in, 

 pT 2 liegende Gerade t* gehen, uüd die Flächen in (ß) werden in- 

 folge dessen wieder eine weitere durch B gehende Gerade g% ge- 

 mein haben. Die Büschel (a), (ß) haben jedoch eine Fläche gemein- 

 schaftlich, welche B in dem durch Hß , Mß gehenden und b in B 

 oskulierenden Kegelschnitt schneidet. Es muss also t* auch in der 

 Polarebene von T 2 bezüglich dieser Fläche liegen und deshalb ist 

 t* = t, demnach auch g* ß = g ß \ 



Somit haben alle Hyperboloide, welche sich längs einer Ge- 

 raden p berühren und eine Kurve, welche p in B schneiden möge, 

 in diesem Punkte oskulieren, die zweite durch B gehende Gerade 

 gß gemeinschaftlich. Diese Gerade gehört also auch dem Oskulations- 

 hyperboloid H an. 



