Znr Konstruktion der Oskulationshyperboloide von Regelflächen. 7 



wir jetzt auf b einen beliebigen Punkt I an; seine Tangente an b 

 möge t„ in Iß treffen, und die Projektionen der Punkte A , C, von 

 1 auf t 7 seien Ai, Ci ; es ist 



(l ß Aß B Ai) = {Iß C fi B Q) = - l (1). 



Die Geraden AiA, CiC, Ißl schneiden sich nun in einem 

 Punkte W, welcher der Geraden g ß z=.BW von H angehört. 



Es schneidet nämlich IßV die Gerade p im Berührungspunkte 

 I von H mit der Ebene pl und es ist (BACI) = B (B 1 A C I ) = 

 (BA ß C ß Iß) = (BA i C t I ß ). 



Aus der Perspektiven Beziehung (BA ßCßlß) == (BACI) einerseits 

 und (BAi Ci Iß) = (-B^ICZ) andererseits folgt, dass die zugehörige Per- 

 spektivcentra V, W auf der Geraden Ilß liegen. Projizieren wir 

 endlich etwa {Iß Aß BA { ) = — 1 von A aus auf die Gerade Iß I, so 

 gilt auch für die Projektion die Beziehung (Iß VIW) =. — 1 ; es ist 

 somit B ( Iß VIW) = — 1. Demnach wird WB von IB = p har- 

 monisch getrennt durch B V und č 2 ; es ist also tatsächlich WB 

 identisch mit der Geraden g ß von H. 



Um also g ß direkt zu erhalten, projizieren wir die Schnittpunkte 

 der Berührungsebenen in A und C mit b von irgend einem auf b 

 liegenden Punkt I aus auf die Tangente t 2 und verbinden die Pro- 

 jektionen dieser Punkte mit den Berührungspunkten dieser Ebenen; 

 wir verbinden also Ai mit A und Q mit C; der Schnittpunkt Wàer 

 Verbindungsgeraden gehört bereits der Geraden gß an. 



Dieses Resultat konnte man voraussehen. Denn das Hyper- 

 boloid M, welches durch b geht und F längs p berührt, hat die Ge- 

 raden A A, C C, I I . . . zu Erzeugenden, und es ist die Punktreihe 

 BA C I . . . auf b perspektiv zur Punktreihe BACI. . . auf p ; somit ist 

 auch die Projektion BA { Cilß der ersten Punktreihe von / aus auf£, 

 zu BACI , . . perspektiv, und W—AiA . GC ist das Perspektivcentrum. 



Die Regelschar ^4 -4, C C, . . . auf M wird von 7 aus durch 

 einen Ebenenbüschel 1. Ordnung projiziert, welcher die durch i ö 

 gehende Gerade r der zweiten Schar von M zur Achse hat; da 

 die Projektionen der Geraden A A, C C . . . von I aus auf die Ebene t 2 p 

 sich in W schneiden, so ist I W die Achse des erwähnten Ebenen- 

 büschels und somit ist I W die Gerade r der zweiten Schar von M ; 

 die Gerade der ersten Schar von M, welche durch B geht, liegt in 

 der Ebene t. 2 p und muss 7 W schneiden; sie ist also identisch mit 

 gß=z BW und gehört nach Früherem (Art. 3) auch dem Oskulations- 

 hyperboloid H an. 



