Zur Konstruktion der OskulatiOnshyperboloide von Regelflächen. 9 



Eine einfache direkte Konstruktion der Geraden v für das 

 Oskulationshyperboloid längs x beruht darauf, dass die erzeugenden 

 Geraden AA X , BB X , CC X , . . . der Fläche F von V aus durch einen 

 Ebenenbüschel projiziert weiden, welcher einen Kegel 2. Ordnung K 

 einhüllt, dessen Mantelgeraden von V zu den Punkten ausstrahlen, in 

 welchen F von den Ebenen AA X V, BB X V, CC X V . . . berührt wird. 



Der Kegel K lässt sich somit einfach konstruieren. Er berührt 

 auch die vorher ermittelte Tangentialebene V von F längs einer Ge- 

 raden, welche offenbar die fragliche Gerade v ist. 



Von analogen Erwägungen werden wir in den nachstehenden 

 Aufgaben geleitet. 



7. Zwei in verschiedenen Ebenen R^ E 2 gelegene Kegelschnitte 

 k x , k 2 als Träger zweier projektiven Punktreihen A x B x C i [ . .. 

 A 2 B 2 C 2 . . . schneiden sich in einem sich selbst entsprechenden Punkt 

 Ki^:K 2 ; man soll für die Fläche F ; welche diese Punktreihen er- 

 zeugen, das Oskulationshyperboloid H längs irgend einer Erzeugenden 

 A 2 A X ermitteln. Insbesondere soll die durch den auf A 2 A X willkürlich 

 angenommenen Punkt gehende zweite Gerade von H ermittelt 

 werden. 



Eine einfache Anordnung der Konstruktion ist etwa folgende: 



Wir schneiden die Gerade r = B^ . R^ mit der Tangente t 2 in 

 A 2 an Je 2 und mit der Geraden A 2 B 2 , und die so erhaltenen zwei 

 Punkte projizieren wir von A x aus auf h x nach A x \ B x ' und 

 ermitteln die Achse l der projektiven Punktreihen A 2 B 2 K 2 . . ., 

 A X B X 'K 2 . . ., welche K 2 mit A X 'B X .B X A X verbindet und h x noch im 

 Punkte E 1 = E x schneidet. Alsdann trifft die Gerade, welche A X E X . j, 

 mit A 2 verbindet, den Kegelschnitt k 2 im Punkte E 2 , welcher E x 

 entspricht, und die Gerade e =: E X E 2 gehört der Fläche F an und 

 schneidet A X A 2 in einem Punkte Z), welcher der Doppelgeraden d 

 von F angehört. Diese Doppelgerade selbst kann man nun leicht 

 bekommen. 



Wir konstruieren zunächst die Berührungsebene V von F in V. 

 Wir projizieren zu dem Zwecke etwa die Punkte B 2 , K 2 von irgend 

 einem Punkte L» des Kegelschnittes Jc 2 auf t 2 nach (B 2 ), (K 2 ) und 

 ebenso B x , K x von irgend einem Punkte H x des Kegelschnittes &, 

 auf t x nach (B x ), (K x ). Vorteilhaft können wir L 2 etwa im Schnitt von h 2 

 mit der Geraden, welche t 2 .r und B 2 verbindet, und H x im Schnitt 

 von k x mit der Geraden, welche t x .r mit B x verbindet, annehmen. Die 

 Ebene V ist alsdann auch Berührungsebene in V an das durch die 

 Geraden A X A 2J (B X )(B 2 ), {K X )(K 2 ) festgelegte Hyperboloid G. 



