Zur Kunstruktion der Oskulationshyperboloide ton Regelflächen. ]_\ 



Die Gerade g~G x G 2 ist dadurch auch leicht ermittelt; sie 

 gehört also auch dem Oskultionshyperboloid H an. 



Dabei sind wieder d und g allen derartigen Hyperboloiden ge- 

 meinschaftlich. 



Wollte man die Gerade v von H, welche durch einen beliebig 

 auf A X A 2 gewählten Punkt V geht, direkt konstruieren, so würde 

 man etwa zuerst die Berührungsebene V von F in F konstruieren 

 und dieselbe mit F zum Schnitte bringen. Der von A^ verschie- 

 dene Schnitt ist ein Kegelschnitt /, der durch V geht und dessen 

 Tangente in diesem Punkte die verlangte Gerade v ist. Sind v v v 2 

 die Spuren von V in R 1 und R 2 , so sind die nicht auf A X A 2 lie- 

 genden Schnitte v x .k L , v 2 .k 2 zwei weitere Punkte von /. Ermitteln 

 wir noch zwei Punkte dieses Kegelschnittes, etwa^.v,, Z 2 . v 2 , so ist er 

 hiedurch bestimmt und man kann v ohneweiters finden. 



8. Wird die Regelfläche F durch zwei projektive Punktreihen 

 A x B l C l . . . , A 2 B 2 C„. . . . welche auf irgend zwei Kegelschnitten 

 k x , k 2 liegen, erzeugt, und soll man für diese Fläche das längs irgend 

 einer Erzeugenden A X A., oskulierende Hyperboloid H konstruieren, 

 so kann man diese Konstruktion leicht auf die zuletzt betrachtete 

 zurückführen. 



Wir nehmen auf der Schnittlinie r der Ebenen R a , R. 2 von \ 

 und Jc 2 den Schnittpunkt B l2 * mit A 1 B 1 an und verbinden ihn mit B 2 . 

 Die Verbindungsgerade möge h 2 zum zweitenmale in M schneiden. 

 Nun können wir bei unserer Konstruktion Jc l durch den Kegelschnitt 

 Jc x * ersetzen, welcher \ in A L hyperoskuliert und durch B 12 * geht, 

 also mit ihm zentrischkollinear liegt für A x als Zentrum und die 

 Tangente t x in A x an Jc L als Achse der Kollineation, wenn wir die 

 Punktreihe A X B X C X . . . durch ihre Projektion A x B xi *C* . . . 

 von A x auf &, * ersetzei, während wir \ durch den Kegelschnitt h<* 

 ersetzen können, welcher k 2 in A 2 oskuliert und durch die Punkte 

 M und B 12 * geht, insofern wir die Punktreihe A 2 B 2 C 2 . . . durch 

 ihre Projektion A 2 B 12 * C 2 * . . . auf \* von M aus ersetzen. 



Dadurch wird F durch eine Regelfläche 3. Ordnung F* ersetzt, 

 und es ist nun die vorhergehende Konstruktion anwendbar. 



Um hier beispielsweise die Gerade e von F* zu bekommen, 

 bringen wir t x und A X C X mit r zum Schnitt und projizieren die 

 Schnittpunkte sowie B x \ von A 2 auf h 2 nach (A x ), (Ci), (#[* 2 ). 



Ferner ermitteln wir die Projektion C 2 * des Punktes C 2 von M 

 auf k 2 *. Wir verbinden da den gemeinschaftlichen Punkt der Geraden 





