o 



m ett ändligt antal värden af en funktion äro gifna, hvilka motsvara värden af 

 funktionens argument, som växa med en oföränderlig och ändlig qvantitet, så kallas 

 den operation, hvarigenom summan af dessa funktionsvärden uttryckes medelst en ny 

 funktion: summation af den gifna funktionen. Resultatet erhålles genom integration 

 af den ändliga differenseqvationen 



y s — y s Ji = F{i) 



der F(t) är den gifna funktionen och y s det sökta resultatet; s betecknar på samma 

 o-ång ett helt tal, då enheten för t är sålunda vald, att det oföränderliga värdet, hvar- 

 med argumentet växer, betecknas med 1. 



I några få fall, d. ä. då F(t) betecknar en hel rationell algebraisk funktion eller 

 ock en exponential- eller trigonometrisk funktion af en viss beskaffenhet, kan ofvan- 

 stående differenseqvation strängt integreras. Är F(t) af en annan beskaffenhet, så fin- 

 ner man y s medelst en serieutveckling, som är känd under namnet Mac Laurins summa- 

 tionsformel. Denna formel är likväl ingalunda allmänt användbar, ty hon hör ofta 

 till de så kallade halfkonvergenta serierna. För att kunna bedöma möjligheten att 

 medelst denna formel erhålla ett noggrannt resultat, blef det nödvändigt att diskutera 

 den så kallade resttermen. Men ville man använda denna term endast för ett sådant 

 kriterium, så skulle ej mycket vinnas, och emedan så skett, är man med lösningen af 

 problemet att summera funktioner ej synnerligen långt kommen. Underkastar man 

 dock resttermen en sådan transformation att hon kan numeriskt beräknas, så blifver 

 den Mac Laurinska formeln användbar vid flera tillfällen, der hon förut hade lemnat 

 ett helt och hållet illusoriskt resultat. Denna transformation består deri, att restter- 

 men utvecklas i en konvergent serie; men ehuru man sålunda blifver i stånd att finna 

 ett resultat med all önskvärd noggrannhet, så händer dock att den nya serieutvecklin- 

 gens konvergens är af den natur, att användningen af densamma blefve mer än nöd- 

 vändigt mödosam. 



Vid de undersökningar i störingstheorien, hvarmed jag sedan någon tid sysselsatt 

 mig, visade sig det ofvannämnda problemet erhålla en särdeles vigtig användning. Jag 

 företog mig derföre att undersöka huruvida ej den Mac Laurinska formeln skulle 

 kunna ersättas genom någon annan mera lämplig. Det visade sig dervid, att denna 

 formel endast är ett speciellt fall af en allmännare, samt att ur denna allmännare 

 formel andra speciella kunna härledas, hvilka under vissa omständigheter äro att före- 

 draga. 



Vid dessa undersökningar har jag inskränkt mig till reellt periodiska funktioner 

 och några med dem beslägtade, emedan endast sådana förekomma vid de använd- 



