4 GYLDÉN, OM SUMMATION AF PERIODISKA FUNKTIONER. 



ningar, jag åsyftar. Af denna orsak antager jag, att F(t) såväl som alla dess differen- 

 tialkoefficienter ständigt kunna uttryckas medelst serier af formeln 



(1) F(t) = M + Mi Cos (V + t*i) + 31 2 Cos2 (ip + /ut) + 



der ip betecknar en konstant båge och fi ett godtyckligt irrationellt tal. Tillika skola 

 vi införa talet n såsom enhet för ändringen af t, då vi hafva 



y. — y—i=F{sn) 



och erhålla, om vi sätta 



(2) y s = F{0) + F(n) + .... +F(sn) 



Vi kunna gifva åt vårt problem en annan form, hvilken blifver till nytta vid 

 användningen. Sätta vi nämnligen <* 



u = (f / {jxi) 

 under antagandet att u är en periodisk funktion af /ut, samt 



F(t)=j(u); 

 och beteckna vi dessutom 



Mo = <jP(0) 



U, — (f{/UTl) 



U s = (f{s,U7l), 



så är 



. y s =/K)+/(0 + ---- +f(u s ) 



och vår uppgift vore att uttrycka y s såsom en funktion af u s . 



Införa vi i eqv. (2) värden för F(0), F(n), o. s. v., i enlighet med eqv. (1), eller 



F(t) = i/ + M x Cos (ip + ut) + M 2 Cos 2(ip + /ut) + 



så erhålla vi 



y s = (s + 1) M + M t Cos V (1 + Cos /un + Cos 2/un + • ■ • + Cos s/un) 



— Mi Sin ip (Sin /uti + Sin %un + ■ • . + Sin s,un) 



+ M 2 Cos 2i/> (1 + Cos 2/un + Cos 4/un + • ■ . + Cos 2s/un) 



— M 2 Sin 2ty (Sin 2/un + Sin 4,un + • • • + Sin 2 s/un) 

 + 



Med stöd af de bekanta relationerna 



[l + Cos n/m + Cos 2nfin + . ■ . + Cos sn/un = 4 + 4 si " (s t i)n - u " 

 ; Sin n/un + Sin 2n.un + . . . + Sin sn/un = A Cot£ 4 n/un — A c °» ('+*>«'"' 

 finner man ur ofvanstående eqvation 



00 



(4) y„ = (s + 1)M + ZM„ (A + \ Cotg i rc,u7r Sin sn/un + \ Cos src,«7i) Cos nip 



00 



— -^ M„ (i Cotg A ra,«7r — A Cotg An,«7r Cos sn/un + A, Sin swuti) Sin nip 



