KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 I. 5 



Såvida vi nu kunna tänka oss s,«.t uttryckt såsom en funktion af u s och detta 

 uttryck substitueradt i eqv. (4), så kunna vi äfven anse oss hafva en lösning till vår 

 uppgift. Men i den händelse att utvecklingen af F(t) efter multiplerna af /ut endast 

 långsamt konvergerar, blifver en dylik lösning illusorisk, eller åtminstone obrukbar för 

 summeriska räkningar. Ty om äfven slutresultatet, ordnadt efter multiplerna af u s 

 såsom argument, skulle i hög grad konvergera, så skulle dock hvarje utvecklingskoeffi- 

 cient utgöras af en oändlig serie, hvaraf ett mycket stort antal termer blefve märkliga. 

 Vi böra derföre söka att transformera formeln (4) på något för vårt ändamål lämpligt 

 sätt och för sådan orsak skola vi till en början bemöda oss att framställa y s under 

 ' formen af en bestämd integral. Dessförinnan skola vi dock lägga märke till, att en 

 del termer i uttrycket (4) omedelbart låta summera sig. Det är nämnligen 



oo 



F(0) = M + -2? M n Cos nxp 



OO 00 



F(sn) — M + J£ M n Cos n\p Cos nsun — 2 M n Sin n y Sin nsf.ni 

 Sätta vi derföre 



z s = y s — \_F(0) — hF{sn) 



=y* — */("<>) —hf(u s ), 



så blifver 



00 00 



z s — sM Q f \2 M n Cotg \nfin Sin n{s t un + i/') — \ H M n Cotg \nfin Sin ny ; 

 men, emedan 



i / Cotang i n,un {Sin n(su7i + ip) — Sin ny] — s , 

 så kunna vi äfven ansätta denna eqvation 



00 oo 



z s = \ 2 M n Cotang fyifin Sin n(y + sinn) — \ 2 M n Cotg \nfin Sin ny 



o o 



Om vi nu skulle lyckas att bestämma en funktion x{i) sålunda att vilkoret 



STZ 



(5) I Cos n(y + Mt)x(t)dt = Cotg \n(M {Sin ?i(ip + s,un) — Sin ny) 



o 



blefve uppfyldt, så hade vi omedelbart 



oo r r oo 



z s = \ZM n I Cos n(y + t)z(t)dt = Ux(t)dt 2 M n Cos n(y + ut) 



u o 



d. ä. 



(6) z. = \fmx(t)dt 



o 



Svårigheten består således nu endast deri att kunna bestämma funktionen x(t), 

 och denna öfvervinnes ögonblickligen, om man i stället för GotghnfiTi i eqv. (5) sub- 



stituerar den bekanta utvecklingen 



n , . 2 | t 2nu 2nu 



Cotang \ nf m = - { - + ^^r^ + j^f=^ 



\ 



