6 GYLDEN, OM SUMMATION AF PERIODISKA FUNKTIONER. 



Man har nämnligen, i fall m betecknar ett helt tal, 



S7fi 



(7) I Cos n(y + ,ut) Cos 2mtdt = ^^rzr^f (Sin n (^ + s71 ) — $ m n ^ 



o 



hvaraf följer att vilkoret (5) blifver uppfyldt om 



X(t) = £{1 + 2Cos2* + 2Cos4f + ••■ , 



d. ä. 



/a 2 T . Sin (2/t + 1)(! 



/(O = - Lim. sin< 



der Lim. betecknar att det hela talet k bör anses växande i oändlighet. 

 Det vunna resultatet, nämnligen 



sre 

 1 T • f 7,yASin(2i + l)< . 



z,=:-Um.JlL(t)— s-7— dt 



o 



är likväl för vårt ändamål utan någon omedelbar betydelse och innehåller ingenting 

 annat än den bekanta Mac Laurinska summationsformeln. Betrakta vi likväl den väg, 

 på hvilken detta resultat vunnits, så visar det sig att detsamma hufvudsakligast stöder 

 sig på den anförda utvecklingen af Cotang \n,un. Den svårighet, som vi ännu hafva 

 att öfvervinna, synes derföre ligga deri att finna någon annan, mera konvergent serie- 

 utveckling för denna funktion. Sådana kunna lyckligtvis äfven ganska lätt erhållas, 

 ehuru de hitintills tyckas hafva undgått all uppmärksamhet. 

 Ur den bekanta formeln 



rt .' » C-S)0-g)('-S)--- 

 c °'-g 1» = = (1 _ S)(1 _ S)(1 _ S) ... 



följer ögonblickligen, om i betecknar ett helt positivt tal: 



Cotg i,nx _2_ V , 1 ~ (2i +T)äy V, ~ {ii + 3)*) ' • • 



(l-S)(i-© • • (l"5F5i)~* # 0-Ö(l-©(l-© • • • 

 Sönderdelas här qvantiteten till höger om likhetstecknet i partialbråk, sålunda att 



,„v Cotang jncc 2 f A'f> 2a;Xfi 2s.Y^ \ 



W (i^)^)..^^) 4- + * 2 -2 2+ * 2 -4 2+ '-- / 



så finner man för koefficienterna -X„ ] följande värden 



"*» (2«) 2 — l 2 



jTW 



[(2m) 2 — l 2 ] [(2«) 2 — 3 2 ] 



l 2 . 3 2 . 5 2 



i&nf — l 2 ] [(2«) 2 — 3 2 ] [(2b) 2 - 5 2 ] 



o. s. v. 



Vi beteckna nu 



2 



(9) *<(*) = £ W + 2JTF> Cos 2f + 2^« Cos 4t + • • •• } 



1 — iiV + 6?V — ..-. ± 6$V = (i^J)(i__J)...(i_^,) 



