8 GYLDÉN, OM SUMMATION AF PERIODISKA FUNKTIONER. 



eller 



G 



r;fl _ 2 2 . 4 . 6 . ■ 2/ 

 " - n 1 . 3 . 5 . . (2i : + 1) 



A*) — i-i Q" 2n + 1 TT (-1)'1.2.3... 2/(2/+ 1) 



° ä « — ti 2« öm 2 " [(2k) 2 — l 2 ] [(2n) 2 - 3 2 ] . . . [(2rc) 2 - (2i + l) 2 ] 



Jemföres dessa värden med dem, hvilka vi i föregående § funno för koefficien- 

 terna X%\ så inses ögonblickligen: 



(11) ^5 — — -öm 2 7r^„ 

 Vi hafva således: 



(12) ^yCos.9- 2i + 1 =l -- 2X{ i + 1 >Cos2.9-+2^ + 1, Cos4# 



d. ä., med hänseende till eqv. (9) 



Sin^ + ^fO^O?) 



(13) = i.8-.V. 6 « + i ^) 

 så länge 



Emedan dock ofvanstående eqvation förblifver oförändrad, om O- ökas med någon 

 multipel af 2n, så bibehåller hon sin giltighet för alla #-värden, hvilka uppfylla vilkoret 



2mn < # <; (2m + l)n. 

 Deremot är 



(u) % sfo* w+1 = - i.V.V^»+i W*> 



så länge 



(2m — l)n < &<^ 2m7i 



Om nu eqv. (12) multipliceras med d& och derefter integreras, så uppstår ett 

 resultat af formeln 



°° ™ * 



(15) # = -£ m Sin 2n# + f -£ a® + 1 Sin (2n + 1.)» 



1 Ä o 



der 



/?(t) ÖS» ( — 1)" V{i + 1) 1 /-^ ■ y-« + i) 



Pin = cp= ^T An n ^ 0S n7lX n 



U) _ 1 . 3 . 5 ■ ■ 2» + 1 1 J_ (2/ + 1)2/(2/-!).. (i + n + 2) 



2n + l 2 . 4 . 6 . . 2/ 2n + 12-' 1 . 2 . 3 . . (t — n) 



I likhet med eqv. (12) gäller eqv. (15) endast för ^-värden, hvilka ej öfverskrida 

 gränserna — \n och + \n. 



Multipliceras härpå eqv. (15) en gång med Cos xfr . d&, och derefter med Sin 

 xfr . d&, der x betecknar en fullkomligt godtycklig storhet, så erhålles medelst integration: 



[3- Cos x»d» =C— Cos x& 1 =^E Cos 2n& — f Cos x& 2 Tl^f^ Cos (2» + 1)* 



- « Sin *# 1 jg^^i Sin 2n5 — J* Sin ar* i^pffzr^ Sin (2n + 1) * 



