10 GYLDEN, OM SUMMATION AF PERIODISKA FUNKTIONER. 



Dessa eqvationer kunna härledas ur eqvationen 



CO i 



& = £få + 1 Sin (2n + l)*-24« Sin 2rc # 



1 



alldeles på samma sätt, som eqvationerna (16) och (17) här blifvit deducerade ur eqv. 

 (15), ehuru i den ofvan åberopade afhandlingen en helt annan väg blifvit följd. 

 Jemför man uttrycken för ftil och fål + i, nämnligen 



l n _ (-1)<1 2 .3 2 .. (2/ + l) 2 



ÄS=±Cos'wi 



n ^ u " "" [(2«)* — l 2 ] l(2nY — 3 2 ] . . . [(2rc) 2 - (2/ + l) 2 ] 



och 



/K*) — 2 2 Q' 2? ' + 1 (— 1)'2 2 . 4 2 . 6 2 . . (2/) 2 [-„ __/«•. -|V| 



" 2 « + 1_ ir2» + l öm ' 2 ^ [(2?ij 2 — l 2 ] [(2m) 2 — 3 2 ] . . . [(2m) 2 — (2/ + l) 2 ] L /?2 ^* + l )i 



så finner man följande relation 



éB±. == 8_ft L _ r2 ,«. pn 2 2 .4 2 ...(2/) 2 



/Sffi " ji 2» + 1 1-^ 7 * ^*. ^J I 2 . 3 2 . . (2t + 1) 2 



Äfvenså erhålles ur uttrycken 



w _ l.Jl 2/(2/ -1).. (i + n + l) a2i I.2.3.. / 



"2« — « 2* 1.2.3.. (i— k) ^ (» + !)(«+' 2). . 2i 



1*9™ + 1 



1 1 (2/ +1)2/. ..(/+» + 2) 1.3.5.. 2/ + 1 



*2» + i — 2 » + 1 2 2 ' 1 . 2 . 3 . . . (i — n) 2 . 4 . 6 . . 2/ 



gffi _ ftt + l /n_ . 9 - , n \ 2 " 1.2.3../ 2.4.6.. 2/ 



aä!+, — 2s v*" z * t ^2/ + l (e + l)(« + 2).. 2f 1.3.5... 2/ + 1 



hvaraf, med stöd af den kända relationen 



L.A.Ö..I.A — 1.3.5.. (2,-1)^ 1.3.5... (2t — 1)V* + 1 A i + ^ •■ M 

 man omedelbart erhåller det enklare uttrycket 



<L - Sta + l ,« 2 • 2 x , 2 2 .4 2 ..(2/) 2 



oSS+i _ 2h V Zn + ^ + Z ; l 2 . 3 2 . 5 2 . . (2/ + l) 2 



Den funktion, som vi här betecknat med x(2i,a%) är slutligen definierad medelst 

 följande eqvation 



*(2»,4)=.(i— s).(i— i).-- (i— ä) 



Insätta vi #=§ i eqv. (16), så erhålles med hänseende till relationen emellan 

 #2 + 1 och J^ + 1 ' 



Cotga^ -!jl 207X1'+" 2a;.Y£+' ) 1 



^( 2l + 1 ,4)--U + *•-»» + * 2 -4 2 + ••■ J 



Skall denna utveckling vara identisk med den i eqv. (8), så bör 

 Vi hafva emellertid å andra sidan 



12 32 (2i + 1)2 



