KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:o I. 15 



ständigt konvergerande serie. Vi hafva sett huru en sådan utveckling låter utföra sig 

 sålunda, att konvergensen blifver tillräcklig för summeriska beräkningar. Jag skall nu, 

 ehuru detta egentligen ej hör till föreliggande ämne, äfven anföra analoga utvecklin- 

 gar för tangenten, secanten och cosecanten. Dylika utvecklingar erhållas ögonblick- 

 ligen ur eqvationerne (16), (17), (18) och (19) genom att i dem införa passande spe- 

 ciella värden för &. Vi erhålla sålunda 



Tano- *£ - xÅ% x-\ (-^ ^- + -^- \ 



i ang x 2 — ss»\at,ss 2 j ^, _ ^ 32 _ ^ -t- 52 _ ^ \ 



n , n 2 / tt\ fl 2aftj° , 4#fl" ■. 



Cotg ^ = -*(2, + l >a?¥ ) [- — gT^^ + prrp I 



Q t _ Jo- £\ Ii ^i" 3s 2 #" 2sM'> 4gM' ] 2^4? 1 



öec« 2 — *\*>& 2 / t 1 + l 2 -a; 2 + 3 2 -a; 2 + ' ' ' ' 2 2 — a; 2 4 2 — a; 2 ' " ' (20 2 — W 



r« 7{ 2/,... tt\ fl , 2^g' 4afff> 



te a;«{" n &»«?' ?; (2/ + ljareg^ 



+ 2 1 2 -ic ! + 2 3 2 — a; 2 + ' ' ' + 2 (2i + l) 2 — x 2 



i} 



Jag afslutar här dessa undersökningar med att påpeka den stora formelrikedom, 

 som låter utveckla sig på grund af de anförda relationerna. Differentieras t. ex. den 

 andra af ofvanstående eqvationer i afseende på x, så erhålles 



(sina;^) 2 ~ U/ \ ' 2/U ! (2 2 -^ 2 ) 2 (4 2 -a; 2 ) 2 + J 



, 2 v 2 fe(2i + l^f) ji 2^' 4^1" . . . I 



\tz) dx \x 2 2 — a; 2 4 2 — a; 2 / 



Betraktar man ,« såsom föränderlig i eqvationerna (3), och differentieras dessa i af- 

 seende på denna qvantitet, så finner man 



o • . o o • o -_ . c • _ 1 Sin snun 1 Cos (s + Dnun 



Sm n,u7i + 2 Sm 2^ + • • • + s Sm sn,«n = ^ (SiD ,^ t7r)2 - - 2 S sinl^* 

 1 + Cos n,un 4 2 Cos 2n^ + ■ • + s Cos sn,un = 1 — j- / + ^ , s Cos t s? % + js s y + ^" 



' ' '4 (Sm \nfin) 2 4 (Sin \npmy- 2 Sm ^ ?z,«7r 



Förmedelst dessa relationer härleder man summationsresultat för funktionen 



t{M + M x Cos (y + pt) + ■ ■ • } 

 på samma sätt, som ofvan för den i (1) angifna serien. 



