4 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



termer, som innehålla den tredje kroppens massa såsom faktor, så äro alla dessa termer 

 att betraktas såsom bekanta funktioner af tiden, och den andra approximationen er- 

 hålles genom att göra de konstanter, som infördes i den första tillnärmelsen, beroende 

 af tiden, och detta på sådant sätt, att de framlagda differentialeqvationerna blifva till— 

 fyllestgjorda, naturligtvis så när som på termer af andra ordningen i afseende på den 

 tredje kroppens massa. På denna väg kan man fortskrida och i många fall härleda 

 den verkliga rörelsen med hvilken grad af noggrannhet, som åstundas. Integrationen 

 af differentialeqvationerna reducerar sig sålunda till en följd af qvadraturer, d. ä. till 

 sådana integrationer, der endast bekanta och bestämda funktioner af den oberoende 

 variabla tiden förekomma under integraltecknen. Så ofta denna serie af operationer 

 är konvergent, så kan man äfven från analytisk synpunkt anse problemet vara löst, enär 

 just det väsentliga i lösningen ligger i den omnämnda reduktionen till qvadraturer. 



För astronomin är dock denna lösning ännu ej motsvarande behofvet; ty här är 

 det nödvändigt att numeriskt beräkna qvadraturerna, hvilket understundom är förenadt 

 med högst betydande svårigheter. Man finner derföre att astronomernas bemödanden 

 på detta fält hufvudsakligen varit riktade på att finna de methoder, hvarigenom ifråga- 

 varande qvadraturer möjligast lätt kunna underkastas en numerisk utveckling, d. v. s. 

 bringas under en form, der endast bekanta funktioner af tiden förekomma och alla 

 integraltecken äro bortskaffade. Tiden eller någon bekant funktion deraf tankes dervid 

 fortfarande såsom oberoende föränderlig, och antages förblifva obestämd eller föränder- 

 lig i alla uttryck. De methoder, som man härvid funnit sig föranlåten att fullfölja, 

 hafva varit och äro hvarandra i viss mon ganska olika; deras individualitet är i främ- 

 sta rummet beroende af de i den första tillnärmelsen införda integrationskonstanternas 

 numeriska värden, och af det ömsesidiga afståndets minimum, i hvilket de båda kring 

 solen kretsande kropparna kunna komma till hvarandra. 



I ett fritt system af trenne kroppar, hvilket är så beskaffadt att den ofvan- 

 beskrifna följden af tillnärmelser är konvergent, äro banorna i den första approxima- 

 tionen bekantligen ellipser. Koordinaterna för hvar och en af de båda kring den tredje 

 rörliga kropparna kunna dervid rationelt uttryckas medelst trigonometriska funktioner 

 af en enda vinkel, hvilken står i en ganska enkel relation till tiden. Bestämmes denna 

 vinkel, hvilken för den ena kroppen må betecknas med s, ur följande eqvation 



(1) c + nt = e — e Sin s 



der c, n och e äro konstanter samt t betecknar tiden, så hafva koordinaterna i den 

 elliptiska rörelsen följande allmänna form 



A + B Cos £ + C Sin « 



hvarvid A, B och C äro konstanter. 



Bestämmes vidare i analogi med det föregående för den andra kroppen en vinkel 

 fi' ur den mot den föregående analoga eqvationen 



(2) c' + nt = t' — e Sin e', 



så blifva koordinaterna för denna kropp angifna medelst uttryck af samma form som 

 ofvan, eller 



A + B' Cos *' + C Sin «' 



