KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 5 



För beräkningen af de följande approximationerna erfordras framförallt uppställ- 

 ningen af uttrycket för de båda rörliga kropparnas inbördes afstånd. Detta afstånd 

 beteckna vi med (A), och finna lätt på grund af vissa bekanta relationer emellan kon- 

 stanterna A, B, C, o. s. v. följande uttryck 



( J) 2 =M +M 1 Cos b + M 2 Cos 2 b + N t Sin b 



+ {M' + M\ Cos b + N\ Sin «}Cos b' 



+ {F + P x Cos b + Q, Sin «}Sin b' 



+ M\ Cos 2 b\ 



hvarvid alla koefficienter tänkas konstanta. Den andra tillnärmelsen beror nu på be- 

 räkningen af uttryck af följande form 



(3) Q = f 4- {«; Cos i b + bi Sin i s}d s 



der i såsom index betecknar något helt tal, äfven noll; rri den andra rörliga kroppens 

 massa, a t och &,- konstanter samt n ett af de hela talen 1 eller 3. 



Man inser ögonblickligen att dessa qvadraturer ej kunna utvecklas i en sluten 

 form; ej heller kunna de angifvas medelst ett ändligt antal bekanta transcendenter. 

 Orsaken härtill ligger hufvudsakligen deri, att relationen emellan s och b\ eller rättare 

 emellan de trigonoinetriska funktionerna af dessa vinklar ej är rationell. 



Genom att eliminera tiden t ur de båda eqvationerna (1) och (2) finner man 



(4) b = c — — c + — e — e — Sin s + e Sin « 



Behandlingen af denna eqvation skulle leda till ganska betydande svårigheter om icke 

 konstanten e hade ett ringa numeriskt värde. Inom vårt solsystem är detta dock hän- 

 delsen. De kroppar inom detta system, som i märklig grad kunna ändra de i första 

 tillnärmelsen beräknade koordinaterna, röra sig nämnligen i banor, som endast obetydligt 

 afvika från cirklar; excentriciteten é är således för dessa banor liten. En följd af denna 

 omständighet blifver nu, att den s. k. excentriska anomalin s' samt trigonometriska 

 funktioner af densamma kunna utvecklas i serier, hvilka fortgå efter multipler af b 

 och u. b, och hvilka konvergera temligen raskt. Uttrycket för {/J) 2 kan således utan 



svårighet angifvas såsom en funktion af s och /us iu =—); men enär ju- är ett irratio- 

 nelt tal, blifver detta uttryck dock icke nog enkelt, att de till behandling föreliggande 

 qvadraturerna omedelbart skulle kunna utföras; man har derföre sett sig föranlåten att 

 förenkla uttrycken af formen (3) genom serieutveckling af nämnaren, hvarvid man dock 

 ej alltid valt s och fis till argument. Det visade sig nämnligen fördelaktigt att — så 

 ofta excentriciteten e äfven hade ett ringa numeriskt värde — utbyta dessa argument 

 mot de s. k. medelanomalierna eller mot nt och rit. — På dylika serieutvecklingar äro 

 theorierna för de större planeterna baserade. För de små planeterna emellan Mars och 

 Jupiter kunde ett sådant förfarande dock ej mer användas med fördel, emedan excen- 

 triciteten e här vanligen var större; man har derföre enligt Hansens föredöme bibe- 

 hållit b och n s såsom argument, hvarigenom vissa, mindre konvergenta serieutveck- 

 lingar undvekos. 



