6 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



Om likväl excentriciteten e antager sådana numeriska värden, som man finner 

 hos de periodiska kometerna, och de båda kring solen kretsande himlakropparna ej 

 ständigt bibehålla ett betydligt ömsesidigt afstånd från hvarandra, så blifva äfven serie- 

 utvecklingarna efter s och ,« s såsom argument otjenliga i anseende till deras ringa 

 konvergens. Det berodde nu på att genom införandet af andra föränderliga såsom ar- 

 gument vinna mera konvergenta serier och dymedelst möjliggöra utförandet af de före- 

 lagda qvadraturerna. Otvifvelaktigt hafva åtskilliga försök blifvit gjorda i och för att 

 påfinna någon utväg, på hvilken den äskade serieutvecklingen med tillbörlig konvergens 

 skulle kunna utföras: åtminstone saknar man i den mathematiska litteraturen ej alla 

 spår af steg i denna riktning; men till något praktiskt resultat har ej något af dessa 

 bemödanden ledt, sålänge man vinnlade sig om att medelst införandet af en enda ny 

 föränderlig vinna det åsyftade ändamålet. 



Annorlunda gestaltar sig deremot saken om man i stället för s och [t £ inför 

 nya variabla, hvilkas giltighet inskränkes inom vissa gränser af s. Om man med an- 

 dra ord indelar banan i ett antal delar, så kan man inom h varje sådan del utveckla 

 de förelagda qvadraturerna efter tvenne vinklar, dervid konvergensen åtminstone efter 

 det ena argumentet kan forceras i önsklig grad. Häri består den af Hansen införda 

 partitionsmethoden, och i öfverensstämmelse härmed benämner han äfven det i st för s 

 införda nya argumentet en partiell anomali. 



För framställningen af de i det följande meddelade undersökningarne är det all- 

 deles icke nödvändigt att fästa afseende vid de många olika sätt, på hvilka partiella 

 anomalier kunna införas; deremot torde det dock vara nödigt, på det att denna fram- 

 ställning må vinna behörig klarhet, att medelst ett exempel visa huruledes de ifråga- 

 varande qvadraturerna omgestaltas genom införandet af en sådan anomali. Ett sådant 

 exempel kan meddelas i största korthet. 



Tänka vi oss t. ex. med F(a>) en så beskaffad funktion uttryckt, som aldrig 

 öfverskrider gränserna + 1 och — 1, och med l en enheten understigande konstant, så 

 kan substitutionen 



(5) Sin i s = IF(oj) 



endast gälla sålänge k ej öfverskrider gränserna e och — * , hvilka bestämmas ur eqva- 

 tionen 



Sin \ s = l 



Genom att införa variabeln a i st. för £ har man således uteslutit den del af banan, 

 som ligger utom s och — s . Men tillika har man nedtryckt alla föränderliga termer 

 i uttrycken af formen (3) till ett mindre numeriskt belopp, enär alla sådana blifva mul- 

 tiplicerade med k eller med potenser af denna konstant, hvilken antogs mindre än en- 

 heten. De föränderlige termerna komma med andra ord att variera emellan trängre 

 gränser. 



Ur eqvationen (5) följer omedelbart 



Cos \ 8 = ± Yl ~ l 2 F{co) 2 

 och härmed vinnes vidare 



Sin £ = 2lF(co)Yl — l 2 F(coy 



