KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 



Cos s = 1 — 2l 2 F(co) 2 



Man ser häraf att Sin s varierar emellan gränserna + 2ly 1 — l 2 och — 21 V 1 — l 2 , 

 samt Cos s emellan 1 och 1 ■ — ■ 2l 2 , hvilka gränser i allmänhet ligga närmare hvar- 

 andra än + 1 och — 1. 



Man finner slutligen 



-rff(ft)) 



ds = 21 _r~*< ;r ~_ dco 



Yl — PF(u>) 2 



eller 



é = 2mn + 2arc Sin lF(co) 



der m betecknar ett helt tal, och termen 2mn blifvit införd på grund af funktionens 

 are Sin. mångtydighet. 



Utvecklas detta uttryck efter potenserna af l, så befinnes 

 (6) s = 2mn + 2li(oo) + \ l*F{mf + . . . . 



Äfven tiden t kan uttryckas medelst den nya föränderliga co. Insattes nämnligen ofvan- 

 anförda värden för s och Sin s i eqv. (1), så befinnes omedelbart 



c + nt = 2mn + 2lF(co) + \l 3 F{co) s + . . . 

 — 2elF{co)Y\ — l 2 F(oo) 2 

 = 2mn + 21(1 — e)F(co) + Q + e)l 3 F(co) s + . . . . 

 hvilken relation äfven kan angifvas medelst differentialuttrycket 



dFjio) 



ndt = 21 d » {1 — e + 2el 2 F(co) 2 } . dco 



V 1 — Z 2 F(<o) a 



Under förutsättning att F(co) är en rent periodisk funktion af co, eller att den- 

 samma endast innehåller sinus- och cosinusfunktioner, inses att äfven sinus- och cosinus- 

 funktionerna af s samt af dess multipler endast innehålla dylika funktioner af co. samt 

 att samma förhållande äfven äger rum i afseende å nt eller %- • Deremot innehålla si- 



R da) 



nus- och cosinusfunktionerna af ,us samt af denna vinkels multipler äfven periodiska 

 funktioner af 2umn förutom funktionerna af co. Man inser nu lätt, att vinkeln 2unw 

 ändrar sitt värde hvarje gång s ökats med 2n eller 360°, men att samma vinkel för- 

 öfrigt bibehåller ett konstant värde. Genom införandet af den partiella anomalin co 

 blifver således uttrycket (3) en funktion dels af den kontinuerligt föränderliga oj } dels 

 af den språngvis föränderliga 2,umn. 



Det numeriska värdet af konstanten l är beroende af den större eller mindre del 

 af banan, som genom partitionen blifvit afskiljd; man kan således göra denne konstant 

 huru liten som helst. Då nu alla termer, som innehålla trigonometriska funktioner af 

 co^ äro multiplicerade antingen med l eller med potenser af densamma, så kan utveck- 

 lingen af uttrycket (3) efter argumentet co göras konvergent i den grad, som önskas. 

 Man kan vidare välja funktionen F(co) sålunda, att Sin * blifver uttryckt genom en se- 

 rie, der endast sinusfunktioner för udda multipler af co förekommer samt att Cos s 

 uttryckes medelst en serie, der endast cosinusfunktioner för jemna multipler af co äro 

 tillstädes; uttrycket för ds kommer dervid att antaga en motsatt form. Den tänkta ut- 

 vecklingen af uttrycket (3) antager då följande form 



