(7) 



H. GYLDBN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



Q = J {fo( m ) + fi( m ) Cos<y+/ 2 (m) Sin 2co + . . . }rf« 



der funktionerna f (m), f^m), o. s. v. ej innehålla «, men äro beroende af den diskon- 

 tinuerligt föränderliga vinkeln 2/um7i. I följd af denna omständighet måste integrations- 

 intervallen sönderdelas i alla de punkter, der diskontinuitet inträffar. Huruledes denna 

 sönderdelning sker framgår lätt på grund af den införda partiella anomalins bety- 

 delse. Antaga vi t. ex. i det vi med s beteckna ett helt tal, att integrations-inter- 

 vallen sträcker sig från £ = m = till s = 2sn + (s), der («) betecknar en båge, hvars 

 längd faller emellan gränserna — fi och + s , så sönderfaller Q vid införandet af oj i 

 följande termer 



f 2n + f 2sn + (f) 



Q = f*d8 + r™ds+ . . ,+ fÉB. da 



J di J dl J dt 



Ur relationen emellan t och co framgår emellertid, att den föränderliga co under 

 hvarje omlopp varierar på alldeles samma sätt, samt att densamma följaktligen är obe- 

 roende af omloppens antal. Derernot är det hela talet m beroende af detta antal om- 

 lopp och tillika endast af dem. På denna grund kan s utbytas mot oj enligt samma 

 formler i alla termer af ofvanstående uttryck för Q; man har dervid endast att iakt- 

 taga det talet m erhåller sådana värden, som motsvara omloppets ordningsnummer. 

 Man erhåller derföre, om med co x och a> 2 betecknas de gränsvärden, som motsvara 

 — 1 och + s , samt med (oj) det (e) motsvarande värdet af co: 



Q =/,(0K + l/o(i) + /o(2) +/o(8) + ...+/„(«- i)}K - o h ) +/„(«)((«) - «0 



+ fM Sin a>, + {/.(l) +/ x (2) 4-^(3) + . . . +f 1 (s-l)}(Smco i - Sin co,) + f\( s ) (Sin (o») - SinoJ 



-i/i(0)Co8 2a» f -ä{/ ]1 (l)+/,(2)+/,(3)+ . . .+/,( a -l)}(Go8 2« 1 -Cos2c» 1 ) 



- 5/ 2 (s)(Cos 2(o}) - Cos 2 »J 



+ . . . . 

 Vanligen är härvid co 2 = + -^-; co 1 = j så att Q erhåller följande något enklare form 



Q = *{4/V(o)+/o(i)'+ • • • +/,M) + V , ,(«)}+/,WM 

 + 2{|/ 1 (o)+/ 1 (i) + . . . +/ 1 («-i) + V ? 1 (*)}+/iW Sin-H 



Såsom man omedelbart inser, är detta uttryck beroende af det antal omlopp, 

 kroppen tillryggalagt emellan de, de båda integrationsgränserna motsvarande tidpunk- 

 terna. Emedan det likväl är fördelaktigt, om ock ej alldeles nödvändigt att lemna 

 den sednare integrationsgränsen obestämd, så framställer sig här en uppgift, hvars lös- 

 ning är förenad med betydande svårigheter. Denna uppgift består i att uttrycka 

 summan 



l/«(0) +/«(1) + • • • +#(*) 



såsom en funktion af s, hvilken dervid anses såsom en oberoende variabel. 



