KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. RAND. II. N:0 9. 9 



Svårigheten i denna uppgift består hufvudsakligen deri, att funktionerna /;(to) 

 äro af en serdeles sammansatt byggnad. Såsom innehållande endast Sinus- och Cosi- 

 nus-funktioner af vinkeln 2/umn, samt dess multipler, kunna desamma visserligen alltid 

 utvecklas i periodiska serier efter detta argument, och efter en sådan utveckling blifver 

 lösningen af ofvanstående uppgift äfven lätt utförbar. Tänker man sig nämnligen föl- 

 jande utveckling 



/(to) — A + A x Cos 2jumn + A 2 Cos 4/umn + . . . 



+ B 1 Sin %umn + B 2 Sin 4 t umn + . . . 

 så erhåller man omedelbart på grund af bekanta formler 



J/(0) +/(1) + • • + 5s/(s) = sA + {A t Cotg,«7T Sin 2,usn + \A 2 Cotg %un Sin åfisn + . . . 



- i-Bj Cotg fin Cos 2/US71 — \B 2 Cotg %un Cos 4/usn — . . . 

 + lB 1 CotgiUJi + U3 2 Cotg ~U"i + . . . 



Det är dock endast i enklare fall, som denna utvecklingsmethod kan blifva prak- 

 tiskt brukbar, enär den ringa konvergensen hos koefficienterna A , A x , o. s. v. vanligen 

 i de fall, der partiella anomalier måste införas, skulle föranleda högst mödosamma räk- 

 ningar, och på samma gång föranleda att resultatet blefve mindre säkert i numeriskt 

 hänseende. — Frågan är derföre nu den, huruvida andra mera konvergenta utveck- 

 lingar af funktionerna f(m) låta etablera sig, hvilka på samma gång äro af den beskaf- 

 fenhet, att det ofvan antydda summationsproblemet blifver praktiskt lösbart. 



Hvad det förra vilkoret vidkommer, eller att finna mera konvergenta utvecklingar 

 af /(m) än de efter multiplerna af jumn, så förefinnes härtill redan en tillfredsställande 

 lösning. Det har nämnligen, icke allenast på grund af theoretiska betraktelser, utan 

 äfven i numeriska räkningar visat sig serdeles fördelaktigt att såsom argument för 

 funktionerna /(to) välja en elliptisk integral, hvilken står i en ganska enkel relation till 

 vinkeln 2fimn. Betecknar man med k en konstant modyl, samt med H en konstant 

 vinkel, så är denna relation följande 



H + /urnn 

 dif 

 Vi - fc 2 Sin q* 



Härefter blifver det nya argumentet, såsom man lätt inser, 2 ^'« m , hvilket vi för kort- 

 hetens skull beteckna med X™ och der vi med A' betecknat den fullständiga elliptiska 



integralen eller 



i" 



d(f 



i 



' V 1 — fc» Sin 7 * 



Efter införandet af argumentet Xm antaga funktionerna /(to) denna form 

 (8) f(m) — a + a t Cos/,,, + a 2 Cos 2/ m + . . . 



+ &! Sin x m + b 2 Sin 2/ m + . . . , 

 hvilken till en början leder till följande summationsresultat 



K. Vet. Akad. Handl. B. 11. N:o 9. 



