10 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLEU. 



4/(0) + /(l)+/(2) + . . . +if(s) 



= sa + a Ji Cos x + Cos Xi +.'..+ 4 Cos /„]+... 



+ 6 x [i Sin Xo + Sin x x + • • • + 4 Sin/,] + . . . 



Härledningen af koefficienterna i uttrycket (8) är visserligen ej utan svårigheter, 

 men dessa äro dock af den art att desamma ganska väl kunna öfvervinnas. För öfrigt 

 ligga dessa svårigheter hufvudsakligen i längden af de numeriska räkningarna, hvilka 

 på inga vilkor kunna nedsättas under en viss gräns, hvaremot utvecklingens analytiska 

 beskaffenhet kan göras temligen enkel. Afven utvecklingen af summorna 



4 Cos Xo + Cos Xi'+ • , ■ +4 Cos X* 



4 Cos 2/ + Cos 2/ x + . . . + 4 Cos 2/ s 



o. s. v. 



kan erhållas genom några högst enkla analytiska operationer; men den lösning af frå- 

 gan, som sålunda erhålles, är af ganska ringa betydelse i praktiskt hänseende, enär 

 densamma beror på serieutvecklingar, hvilka i anseende till deras ringa konvergens äro 

 obrukbara för numeriska beräkningar. 



Emellertid är den analytiska utvecklingen af ifrågavarande summor af största be- 

 tydelse för beräkningen af rörelsen i de fall, der partiella anomalier måste användas, 

 hvarföre jag ansett uppsökandet af sådana utvecklingsmethoder vara särdeles vigtigt, 

 hvilka tillika leda till i praktiskt hänseende brukbara räkneföreskrifter. Framställningen 

 af de methoder, jag dervid funnit, utgör föremålet för denna afhanclling. — Men ehuru 

 den i främsta rummet sig erbjudande methoden ej är praktiskt brukbar, så kan den- 

 samma dock icke förbigås, dels emedan man genom denna omedelbart kommer till in- 

 sigt om resultatets form, dels emedan densamma kan läggas till grund för härledningen 

 af mera praktiska methoder. I afhandlingen »Om Summation af periodiska funktioner» 

 (Kongl. Vetenskaps Akademiens Handlingar för 1872) hafva problem af den beskaffen- 

 het, som här föreligga, blifvit hänförda till vanliga integrationsuppgifter. Den ändliga 

 följden af funktioner har med andra ord blifvit transformerad till en oändlig, men kon- 

 sergent serie, der termerna utgöras af qvadraturer, hvilkas öfre gränser äro beroende 

 af antalet termer i den ändliga summan. Men i stället för att bringa problemet till 

 denna form kan man omedelbart använda vissa i den nämnda afhandlingen förekom- 

 mande serieutvecklingar och erhåller dymedelst värden för de bestämda integral, hvilka 

 uttrycka utvecklingskoefficienterna i de omtalade qvadraturerna, om dessa utvecklas ef- 

 ter argumentet / s . Den följande framställningen begynner på denna väg, hvilken le- 

 der till en viss kathegori af uttryck för de ifrågavarande utvecklingskoefficienterna; 

 den sednare hälften af föreliggande afhandling behandlar deremot de transformationer, 

 som kunna tillämpas på de omtalade allmänna qvadraturerna. 



§ 1- 



Såväl vid härledningen af formen (8), som vid utvecklingen af denna forms sum- 

 mation äro vissa serieutvecklingar från de elliptiska funktionernas theori erforderliga. 



