KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 



11 



At dessa utvecklingar har jag egnat et särskildt arbete *), och behöfver här således en- 

 dast rekapitulera resultaten såvidt de här äro erforderliga. Dessa resultat bestå förnäm- 

 ligast i uppställningen af följande utvecklingar 



fCos n am —x = r o (n> + 2r<"> Cos x + 2r 2 ( "> Cos 2x + . . . 



(I) " 



| Sin n am ^-x = 22™ Sin x + 2^ n> Sin 2x + . . . 



samt de motsatta 



(II) 



Cos i x = y li} + 2r/ ;j Cos am — x + 2y 2 (i> Cos 2am ±± x + 



2a- 



2K 



2K 



Sin i x = 2a. (i > Sin am — x + 2o 2 (i) Sin 2am 4^ x + 



A TI a TI 



hvarvid koefficienternas egenskaper, samt reglerna för deras numeriska beräkning blifvit 

 utförligt afhandlade. En likaså vigtig, som enkel relation, hvilken äger rum emellan 

 koefficienterne i utvecklingarne (I) och (II) är följande 



v (i) _ J_ Vfn) 

 ' " n l 



(9) 



n w - _i_ r <n> 



n 



Tillika bör här anmärkas att alla dessa koefficienter försvinna när differensen n — i 

 icke är ett jemnt tal. För det speciella värdet n — o lemna de sist anförda eqvationerna 

 ingen redogörelse; i detta fall har man 



C2l) 2 g' 



Vo 



1 + 2* 



der q betecknar den från utvecklingen af de elliptiska funktionerna kända qvantiteten. 

 Förutom relationerna (9) bör här ännu anföras följande: 



f-S! 



(10) 



1+2* 



z: 



I2n + 1) 



1 + g« +1 



Då vi nu gå att tillämpa dessa utvecklingar på föreliggande summationsproblem, 

 skola vi, för att i någon mon genast förenkla framställningen, införa följande beteck- 



ningar 



(11) 



(12) 



f ?pf« = ^ Cos ix 4- Cos %x x + ■ . . + h Cos iXs 

 $ (i) = 2 Sin ix + Sin ix t + . . ■ + h Sin ix s , 



samt förutsätta, att resultatet kommer att antaga följande form 

 \W> = *P (i) + 2^° Cos/, + 2?P 2 W Cos 2Xs + • • • 

 j«£W = $& + 2$w Sin Xs + 2& 2 (i) Sin 2x, + , . . 



der koefficienterna endast äro beroende af konstanterna k och /u. 



') Studien auf den Gebiete des Störungstkeori I. Entwicklung einiger Verbindungen elliptischer Functiouen 

 St. Petersburg 1871. 



