12 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



Likheterna (II) gifva oss, om /,„ insattes i st. för x, 



Cos ix, n — Cos 2i ~ u m = y (2i) + 2y 2 2i) Cos 2 amu m + 2y å (2i) Cos 4 am u m + . . . 



Sin ix, n = Sin 2i ^ u„, = 2a 2 < -' ) Sin 2 am u m + 2ö , 4 f2iJ Sin 4 am «,„+..., 



eller, emedan 



amu m = 5 + mfin, 

 Cos ^> OT = y (2i) + 2y 2 (H> Cos 2(5 + m/un) + 2y i (M} Cos 4(5 + m/un) + . . 

 Sin ix m = 2o 2 <2i) Sin 2(H + mun) + 2o/ M > Sin 4(H + mf*n) + . . . 

 Insättas dessa uttryck i eqvationerna (11), så erhållas 

 W> = syW + 2y/% Cos 2H + Cos 2(5 + fin) + Cos 2(5 + 2/un) + . . + j Cos 2(5 + «jct)} 

 + 2// 2i, {i Cos 45 + Cos 4(5 + un) + Cos 4(5 + 2/un) + . . + i Cos 4(5 + s,«ti)} 



+ . . . 

 *«> = 2ff 1 w {| Sin 25 + Sin 2(5 + /un) + Sin 2(5 + 2/un) + . . . + 4 Sin 2(5 + s/un)} 

 + 2o™{\ Sin 45 + Sin 4(5 + /un) + Sin 4(5 + 2,un) + . . . + \ Sin 4(5 + s/un)} 



Uttrycken inom parentheserna låta här omedelbart summera sig, hvartill de nö- 

 diga formlerna finnas anförda i min afhandling »Om summation af periodiska serier» 

 Stockholm, 1872. Man erhåller härefter 



W» = sy (2i) + y 2 (2i> Cotg fin Sin 2(5 + s/un) - y 2 m Cotg fin Sin 25 

 + y/ 2i) Cotg 2/un Sin 4(5 + s/un) - y/ 2i > Cotg 2/un Sin 45 



+ . . . - . . . 



&> = - o™ Cotg- fin Cos 2(5 + s/un) + o™ Cotg jot Cos 25 

 - a 4 (Ji) Cotg 2ftn Cos 4(5 + sfin) + a/ 2iJ Cotg 2/un Cos 45 



eller 



W i} = s/ (2 ° + / 2 r:!i; Cotg,u7r Sin 2amw ä + ^ Cotg 2,«ti Sin 4amu s + . . 



— y 2 (2i) Cotg fin Sin 2amn — y t (Mj Cotg 2,«jt Sin 4amu - . . . 

 ^ r;; = - o 2 VH > Cotg :t/* Cos 2amw s - o™ Cotg 2,«7i Cos 4amu s - . . . 



+ a 2 (ii) Cotg fin Cos 2amu + ff 4 (2iJ Cotg 2,«ti Cos 4amw + . . . . 



Insättas här uttrycken för Sin 2amu s , Sin 4amu s , o. s. v. i enlighet med eqva- 

 tionerna (1), så erhålles omedelbart resultat af formen (12); man finner härvid 



Srw = s/ w - Iy;;> Cotg nfm Sin 2n5 



■<PS> = 2 y22 2 (in> Cotg nun 

 WV = 2yZ2™Cotg2 ni un 



O. 8. V. 



