16 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



Innan vi företaga någon väsentligare transformation af formeln (17), erinras att 

 denna på grund af eqvationen 



n ti 



A? A? = £ jTcos <f* m Cos ifT Cos 2rcp Cos 2r'yd<f dtp, 



o o 



der <p och tp äro oberoende af hvarandra, kan sättas under följande form 



n n 



(19) G(r, r') = ~ jT{l + ^ Cos <p* Cos tp 2 Cotg fin + b -± Cos <p* Cos «/< 4 Cotg 2/un + . .] 



x Cos 2vy> Cos 2rty dy dtp 



Man ser här omedelbart att den första icke försvinnande termen är multiplicerad 

 med faktorn 7- om r>r; På denna grund har äfven den första termen inom paren- 

 thesen i formeln (19) blifvit införd, ehuru densamma ej äger någon motsvarande i eqv. 

 (17); efter integrationer och substitution af gränserna försvinner densamma nämnligen 

 alltid, endast r och v äro större än noll. 



§ 3. 

 Möjligheten att på ett för numeriska räkningar fördelaktigt sätt transformera for- 

 meln (17) synes i första rummet bero på ersättandet af cotangentfunktionerna genom 

 serieutvecklingar med tillräckligt stark konvergens. Sådana serieutvecklingar hafva blifvit 

 framställda i afhandlingen »Om summation af periodiska funktioner». Den allmänna ty- 

 pen för dessa serier är 



Cotg nfin === - x(2i — 1, n,un) ^— — ^J^^^ —^L—^ , . .}, 



der index i betecknar ett godtyckligt valdt helt tal, samt x(2i — l,n<u7i) produkten 



r (2n,u)n r (2^)H r (2^)- 1 



[J. P J L 1 3 2 J • • • • L 1 (2*'-l) 2 J 



och der X ( " äro koefficienter, hvilkas konvergens är beroende af det hela talet i. Denna 

 serieutveckling' kunde nu visserligen begagnas till transformation af formeln (15), men 

 till en början skola vi härtill använda en annan, som ernås på följande sätt. 

 Den bekanta utvecklingen 



Cotang npn = - [^ — 2 , _ (2n/x? — 4 , _ (2rau) , — . . .,- 



hvilken utgör ett speciellt fall af ofvanstående, och ur densamma erhålles efter substi- 

 tutionen i = 0, leder med stöd af formeln 



- ^-"w = shrt^ J Cos 2n & Cos 2 P* dt 



o 



till denna eqvation 



TI 



Sin 2njun Cotg n/un = ■§ ^-Jp + ± / Cos 2^ut {Cos 2t + Cos 4< + . . .} dt 



