KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 19 



och med stöd af denna formel öfvergår den föregående i 



(23) F{v, p) = ^ 2 E{v - 1) + J (*)>(« - 1, p) 



Härmedelst är således en rekursionsformel vunnen, enligt hvilken alla .F-funktio- 

 ner för ett gifvet p-värde kunna beräknas såsnart en enda af dem äro bekanta och se- 

 dan man beräknat i?-funktionerna. Denna rekursionsformel gäller för öfrigt för alla 

 ^-värden, både positiva och negativa. Genom att i densamma insätta v — 1 i st. för 

 v erhåller man 



och insattes detta värde i eqvationen (23), så blifver denna 



På samma sätt erhåller man, i det med s betecknas ett helt tal, 

 (24)i^H^{i?(^^ 



Antages nu s> v, så kan man beräkna F( — (s — v), p) enligt den andra formeln (20), 

 hvilken konvergerar i behörig grad, endast differensen s — v antages tillräckligt stor. 



Formeln (24) är likväl behäftad med en olägenhet, hvilken understundom kan 

 inverka ganska störande vid utförandet af numeriska beräkningar enligt densamma. 

 Om nämnligen talet p, äfvensom indices r och r hafva större värden och ,u dertill är 

 liten, så består uttrycket (24) af en differens, hvilken är många gånger mindre än dess 

 termer. Denna olägenhet undvikes i väsentlig grad genom en annan behandling af 

 eqvationen (22). Den transformation, som härmed menas, beror på ett theorem, som 

 blifvit bevisadt i afhandlingen »Om summation af periodiska funktioner» [eqvationen 16 j. 

 Enligt ifrågavarande theorem erhåller man följande utveckling 



i i <■> V s svs n a , 



1*1 + ^(^(?) 2 



(2» + l)«ff +1 



Cos^ = ^ Sin^f- i(2A + l,^) 



+ ^T ■£ TöTTT" LOS (In + \)t 



och insattes densamma i eqvationen (22), så finner man omedelbart 



(25 ) n>,r).=h ¥*^\)^^t^*^^jW* : - ■ ] 



5 



+ - 2 xfah + 1,^t){£ (2 " + 1) '% V Cos {2n+\)t{A m A m r r k\ Gos<2t-Ä;'Ä?tf v k\ GosAt+ . .}dt 

 Man kan härvid välja det hela talet h nog stort att produkten 



