20 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFOR.MLER. 



som med växande h närmar sig gränsen Cos-fy' ej erhåller något öfverdrifvet stort 

 numeriskt värde, äfvensom att koefficienterna /#£' begynna att starkast konvergera der 

 koefficienterna A l " } A["' upphöra att vara lika med noll, hvilket först inträffar då n upp- 

 når det större af talen r och r. I alla händelser måste h > i>. 

 Koefficienterna /i™ finnas för öfrigt ur följande formel 



,M)_ (—l) n+h P.3 2 . ..(2A + 1) 2 



b [(2n) 2 — l 2 ] [(2b) 2 — 3 2 ] .... [(2b 2 - (2ft + 1) 2 ] ' 



koefficienterna «i'!+i äro åter gifna medelst uttrycket 



oo _ 1 1 . 3 ■ 5 ■ ■ 2ft + 1 (2/t + l)2ft(2ft-l)...(ft + n + 2) 1 

 a 2n+. — 2n + l 2.4.6..2A 1.2. 3.. (A— b) 2" 



Den sednare termen i eqvationen (25) är i sitt ofvanstående skick ej lämplig för 

 numeriska räkningar; man erhölle nämnligen genom att utföra den betecknade integra- 

 tionen för denna term följande uttryck, der den konstanta faktorn utanför integral- 

 tecknet för korthetens skull blifvit bortlemnad 



* <2n 1W> (2» + l) Sin(2»+1)-| 

 >') = A r A, 1 *, 2. i%r, 2 2 -(2b + 1) 2 



+ jr^r/t:^ 



(2n-rl)„g? +1 ^ + DSm(2, + l)f 



+ 



4 2 (2« + 1) 2 



således en serie, hvars konvergens ej vore väsentligen större än den, som förefinnes 

 hos de ursprungliga formlerna (20). Genom partiell integration af formeln 



71 



(26) 7>, s) =(£ ^l^tSv Cos (2n + l)f ^^W Cos 2t ~- ■ ■ } dt 



kan man dock i någon mon kringgå denna olägenhet. Använder man nämnligen formeln 



7t TV 



fCos(2n + l)f Cos 2mi dt = — '(— 1)™ |±£ Sin (2n + 1)~ + { ^rf Cos (2n+ 1> Cos 2mtdt 



*J Is 



o o 



i det densamma insattes i eqvationen (26), så erhålles 



T{v,s) = i (2 " + 1 " + ';£\', Sin (2w + 1) £ • E{y - 1) + j, 2\V - 1; a + 1). 



• (2 re + l) 2 -(^) 

 Denna rekursionsformel leder till följande, med eqvationen (24) analoga uttryck 



(27) T{v,.o) = Mp— l)i^^%r Sin(2rc + 1)| 



(2b+1) 2 -I^ 



+ g» E — 2 ) -2 jé\r Sm (2n + 1) y 



* • (2« + l) 2 -(^)' 



