KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 21 



+ 4.J, E {v — s)Z &n + lf, " ik^ Sin (2n + 1) f + ^ T 7 ^- s, s) 



° (2n+l) 2 — l^j 



Om nu s — v har ett tillräckligt stort numeriskt värde, så blifver serien 



K*°J J-K \ s "),«)— J2..-W *,-* , 2 , 2 2 2 -(2 ra + l) 2 



(2» + 1) 2 — I — 



+ . . . . 



r ft+1) .-( ?) ' 



nog konvergent för numeriska beräkningar. Detta oaktadt är dock brukbarheten af 

 formeln (27) inskränkt, emedan densamma angifver den sökta funktionen såsom ett 

 aggregat af positiva och negativa termer, hvilka hvar för sig äro vida större än deras 

 summa. För att vinna mera lämpliga beräkningsmethoder böra funktionerna T (v, s) 

 transformeras enligt andra grunder, hvilka äfven leda till fördelaktiga formler för funk- 

 tionerna E(f). 



§ 4. 



Såsom redan i § 2 blifvit nämndt kan produkten A™ A™ uttryckas medelst en be- 

 stämd dubbelintegral; användes detta uttryck, så finnes, i det vi för korthetens skull 

 beteckna 



k] Cos (p 2 Cos y 2 = i] 



£l{v-, t) = 2. l 2v n Cos 2* + 2 . 2V Cos At + .... , 



i n n 



(29) E(v) = Y^jjCos2rg> Cos 2r'ifJ d<p dyQ(v, 0) 



o o 



Denna formel gifver anledning till en särdeles vigtig transformation af E(v). 

 Såsom man ögonblickligen finner är 



1 d 2 Sl(v — l,t) 



■Q(v, = - 



2 2 dt 2 



och genom att upprepade gånger använda denna formel rekurrerar man till 



d"'P-(0,t) 



dt 2 " 

 Då v — o, så kan den motsvarande .ö-funktion omedelbart enligt en bekant for- 

 mel summeras; man har nämnligen 



i2( , t) = 2n Cos 2* + 2n 2 Cos ti + . . . = rt^äSnv — i 



Genom differentiation häraf finner man 



0(\ A — 2^(1 -t; 2 ) Cos2< _ 8>) 2 (l-->) 2 ) Sin2i 2 



äi K x > l ) — (i _ 2 n Cos 2* + v 2 ) 2 (1 — 2») Cos 2< + tj 2 ) 3 



Ehuru man medelst fortsatta differentiationer af dessa formler skulle kunna här- 

 leda uttryck för i2-funktionerna, motsvarande större värden af v, så vore ett sådant 



