24 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



{1 + 2 /fc 2 (l— 2 Cos <f 2 Cos ip 2 ) + £;}"'= léj-, {1 + 2k 2 Cos 2T + 2k\ Cos AT + . . .} 



{1 + 2*,(1— 2 Cos y 2 Cos t/> 2 ) + *;}""= grr^l + i^ 2.2^ Cos 2T+ 2^(3 — Ä$)Cos42 , + ...} 

 och i allmänhet 



{1 + 2k.il— 2 Cos ^ 2 Cos ip 2 ) + k\Y m = Jxéjtf.-* {K' + 2k 2 LT' Cos 2T + 2k\ L? Cos 4T+ . .} 

 der 



w«0 (» + !) (i + 2).. (i + m — 1) 1 1 m 1 m - i — 1 , 2 (m — lHm — 2) (m — i — 1) (m — i — 2 ) , , 1 



^ _ 1.2.3. .ro-1 U + 1 i + 1 K 2 + 1.2 (« + l)(i + 2) -*,+ .../ 



På grund af dessa utvecklingar blifver nu 

 (35) V{n) = K" g^-fftl, {Xl; +,) C?' + 2k 2 vr* ur + . . .} 



der vi betecknat 



^"' = i // Cos P* Cos V'*" Cos 2r ^ Cos 2r V Cos Ii T d(f dip 



o o 



För ^(0) gälla en särskild utveckling, nämnligen 



£(o) = *; T^-iu 1 :* + 2k 2 ur + 2k\ ur + . . . } 



hvarest U™ har samma betydelse, som ofvan. 



För att slutligen beräkna dessa med £7! n) betecknade koefficienter, hvilka endast 

 äro funktioner af hela tal, återstår oss att angifva Cos 2%T såsom funktion af (f och ip. 

 Antages denna funktion utvecklad efter potenserna af Cos <p 2 Cos ip 2 , så är densamma 

 lätt funnen. 



Man har nämnligen 



Sin T=Gos(p Gostp, 



följaktligen är den ifrågavarande utvecklingen identisk med utvecklingen af Cos 2iT 

 efter potenserna af Sin T. I följd häraf befinnes 



Cos2 ? T=l-yCosy 2 Cos^ + ( -^^ 



Med stöd af denna utveckling erhålles, i det ^-koefficienterna bibehålla sin betydelse 

 från § 2 



ur^Äur-^A^Ar^^^^A^Ar- 



Såsom denna formel utvisar äro Z7-koefficienterna funktioner af fyra hela tal, 

 nämnligen af n, i, r och r'\ för att beteckna detta beroende skola vi, der sådant är 

 behöfligt, skrifva 



tl?ir, r) 



Detta beteckningssätt blifver oss af nytta, emedan en ganska enkel och användbar re- 

 lation eger rum emellan sådana koefficienter, hvilka höra till olika n, r och /-värden. 

 Denna relation finner man på följande sätt. 



Af ofvanstående, i form af en dubbelintegral gifna uttryck för U l "\ finner man 

 att detsamma äfven kan ställas som följer 



