32 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



koefficienterna i denna utveckling skulle blifva vida större än de som vi förut beteck- 

 nat med U™. Deremot kunna vi införa en medelst eqvationen 



k 2 = 2y 



1 + y 2 



bestämd storhet och utveckla t(/, g) efter potenserna af denna. 



Sedan värdet för v\ blifvit insatt och / substituerad på grund af sistanförda eqva- 

 tion, antager r(f, g) följande form 



a (f>9)—\ ) "2"* 1 (l+y) J j[l + 2y Gosy 2 Cos <jj 2 x*+ y*]'* 1 + [1 + Zy Cos c/ 2 Cos i/- 2 x+ -, + y ry+^ x 



i 



För att utveckla denna formel efter potenserna af y sätta vi 



Cos T = Cos (p 2 CosV 2 « 2 , Cos 2\= Cos <p 2 Cos y>* aT 1 

 hvarefter erhålles 



V=l 

 ff(^) = (_yl-V"=T I^C 1 . j{L™ [x s +x- 1 '-*]-2yL™[a 1 2 ' CosT+x- 2 " 2 CosTJ + . .}dx 



der koefficienterna L t äro bildade på samma sätt af /, som i § 5 af Är 2 . 

 Nu är 



Cos %t = -J- {[2Cos <p 2 Cos v 1 a 1 ]' — -f [ 2Cos 9> 2 Cos ^ *7~' + nrr C 2Cos ?* Cos ^ 2 B T~* 



— ' ( '~ 4) 2 (i ~ 5) [2Cosy 2 Cos y/ 1 * 2 ] £ - 6 + . } 

 Cos \T X = i{[2Cos (p 2 Cosip 2 x- 2 J — . . . } 

 samt 



j{*> + x~^}dx = 2^ "V^l ? 



och nu förefinnes ingen svårighet för uppställandet af a(f, g) såsom en funktion af 

 Cos (f 2 Cos y 2 . Insattes detta värde i uttrycket för o(f, g), så antager detta formen 



<f, g) = T % !^f?- UT" W, 9, r, rO - 2/ ZT U t {f, g, r, r') + . ..} 

 der ^/-koefficienternas betydelse framgår ur följande eqvation 



TJ(f n r r'\ — — i 9* ( ~ 1)/+ " + ' // (/+ " A (f+i) ( - 9'"' ( ~ 1 )^' + '"' ,*</+<-=> ^(/«-« , 



Ui\J>ff> r >r) — 2 r 2( ff +i) + l^ ^ 1 Z % + é-2) + l^- ^ + • * 



Uttryckt såsom en summa af r(f, ^-funktioner, erhålla vi slutligen 

 (37) T(v) = Qri f^llU {r(l,n + l) + r(l,-n)} 



+ ap ^ + -~m « 2 ' » + 2) + <2, - (» - 1)) } 



