KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 33 



§ 9- 

 De transformationer, genom hvilka vi i §§ 3 — 7 sökt att finna tjenliga Käkne- 

 methoder för funktionerna G (i, i'), kunna till en del direkte användas på uttrycken (13) 

 eller det deraf härledda uttrycket (14). Utgångspunkten för dessa transformationer 

 bildar substitutionen af en passande serieutveckling för Cotg n/un. Med användande af 

 den i § 3 anförda utvecklingen 



Cot g *«=4s- * 2n ^ 2 - * ( 2 ^) 3 ^ - • • ■ - J (2»v0* - 1 S 2 ,. 



4 /„ \2,, ( 1 2nu 1 2nu 1 2nfJ \ 



- - \inp) ^ 2 2 — (2k,u) 2 + 4^ 4 2 — (2«,u) 2 + G 2 "' 7 6 2 — (2»,«) 2 " " ' I 



finna vi ur den sednare af eqvationerna (13): 



Mf) 4i_ JJ. j-,(2) rim 1 p(4) w<) 1 w 6 ) Ti(6) , ( 



■ "~ f(n 12= Z =' J ^ "U 2 * 2 ' *«■ +6 2 " 1 *' x «'"'"■••] 



+ IT "2 j* « i «■ + - 1 « i 2i' + - 1 « x '«' +•••(■ 



+ — ä J2 2 C r ( !' + 4 2 r< 4> rr + g 2 r< 6> ri 6 .' + 



^T 4 I il -1 il il Jl J» 



+ 



+ SJ ^P sjy?-'- 2 r? r;:> + 4 2 *- 2 r; 4 > r; 4 .' + 6 2 "- 2 it' r^' + ... .} 



1 8i,u 2v +> / 2 2 " ny riy i 2 " nprjp 6 2 '' rif rjp \ 



+ 2 2 " ti t 2 2 — (2,u) 2 + 2 2 — (4«) 2 2 2 — (6,u) 2 + • • • j 



l 8m 2 "+' / 2 2 ''rg'rffl 4 2 " n?>n*.> 6 2 '' n ?»n{j' \ 



+ 4 2 '' n 14 2 — (2u) 2 + "l^TIuj 2 " + ~^~(fiuf + • • •/ 



(2,u) 2 ' 4 2 — (4,u) 2 ' 4 2 — (6,u) 2 

 + 



I analogi med beteckningssättet i § 3 skola vi äfven här sätta 



i e\v) = r r% r™ + 4 2 " r„ 4) r^ + 6 1 " r* rj' + . . . 



(38) i 2 2 " ny rg 4?" rit>nf> 6 2 " ni" ng' 

 h varmed erhålles 



(39) *? = - £ £'(- 1) + ^ ^ J^(0) + ¥ S 4 £'(D + • • • + ^P S, v E'{y - 1) 



+ 2" "^T - ■* ^> 1) + i 2 ^ ~~ ~ I 1 {", 2) + .. . 



De anförda serierna för E'(t>) och F'{p,p) äro lika litet som uttrycken (20) di- 

 rekte användbara vid numeriska räkningar, men i likhet med dessa kunna äfven E'(v) 

 och F'{y,p) underkastas väsentliga transformationer. Det kommer härvid i dagen, att 

 man på sådan väg ernår i viss mon enklare resultat än de motsvarande vid utveck- 

 lingen af G(i, i'), hvarför den utveckling, vi nu följa, synes förtjena företräde. 



I främsta rummet är det nödvändigt att angifva funktionen F'{y,p) under formen 

 af en bestämd integral; härvid följes alldeles samma väg, som ledde till eqv. (22). Man 

 erhåller sålunda 



K. Vet. Akart. Handl. Ii. 11. N:o 9 ^ <J 



