34 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DTFFERENTIALFORMLER. 



TI 



"3" 



(40) • Ffrp) ='-f4 -r^nr (cos %t.åt \r K K Cos 2t - 4 2 " i? r»> Cos 4* + . . .] 



Sin — -^r- i/ 

 j« 2 o 



Medelst delvis integration härleder man nr detta uttryck rekursionsformeln 



(41) F{p tF ) = -±E'(v-l) + \^F{v- l,p) 

 hvaraf vidare följer 



(42) F(v,p) = -i {F{v ~'l) + ( J) 2 Ä'(, - 2) + . . . + (&)"-' £'(* - «)} + (*)" H> ~ s, p) 



Denna formel är i likhet med formeln (22) behäftad med den olägenhet att re- 

 sultatet utgöres af ett aggregat af positiva och negativa termer, hvilkas summa är vida 

 mindre än flere i densamma förekommande termer. 



Ett med formeln (25) analogt uttryck finner man äfven för F'(v,p), dervid samma 



substitution för Cos -^ t kommer till användning, som i § 3. Med bibehållande af de i 



2p 

 nämnda § begagnade beteckningarne blifver då 



„, . 1 / 2,i 77 \ f2 2, ' + l Ä<*> r m r< 2 ' 4.21- + ' ««■) r(4) r(<) sw+iiinrit] 



(43) ^, p) = -^ Ä (2A + l,&f)J 8 — ^^-l-A^ + e_^ 

 der 



2 



(44) T\v, s ) = i (2 " + 1); ' + ';fH Cos (2n + ^ {r r <*> r » Cos 2f ;_ r r u» r u> Cos 4# + _} 



J o t 2» + l) 2 - p^j 

 o \,u/ 



Genom delvis integration kan äfven denna formel omsättas i ett aggregat af 

 termer, hvilka bestå af mera konvergenta serier; man finner i likhet med förut be- 

 handlade fall 



(45) T(v, 0) = F{y - 1) 1 (2 " + 1)2f f ^ Sin (2n + 1) f 



» (2 B + 1)?-Pf 



+ £'(* - 2) 1 (2 " + 1)4 "Jl + \ 2 Sin (2n + l)f 

 o (2re + 1)2 _(|j- /2 



+ £'(" - *) * (2 " + lr f ^ Sin (2A + 1)| " + T{v - s, s) 



För den sista termen har man åter följande vid nummeriska räkningar lätt an- 

 vändbara uttryck- 



77 



r(i) r m >L I9 , ,«.+, (M (2« + 1) Sin (2» + 1) ö" 



C4fi) TY— f 9 — yl s^ = " "' -£ ( } ' n+ 1 - 



"■-(1) 



!«-7'J — ~ /0„V 



o (2b + !)•_/*! 



ra» ra» j. (2» + !)'■+■ «fcv, (2» + 1)S"(8» + 1)t 



42< "^'' „/o , ,« / 2 ^\ 2 ' 4 s -(2» + l) s 



+ 



