KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. I. N:0 9. 35 



§ 10. 



Den väg, hvilken följdes i §§ 4 och 5, skulle äfven leda till ändamålsenliga ut- 

 vecklingar för funktionerna E'("); dessa kunna dock vida fördelaktigare finnas på helt 

 andra grunder. Härtill är det nödigt att återgå till eqvationerne (I) och (II) i § 1. 

 Insattes i den förra af eqvationerne II uttryck för Cos 2am -§■ x, Cos 4am ^§ x, o. s. v. i 

 enlighet med den första af eqvationerna (I), så framgå omedelbart följande resultat 



Cos 2ix = Y ? + 2y? i? + »yT C + ■•• 



+ 4 {/ 2 2i> r; 1 + Y T r<° + Y T r V + ■■■) Cos 2x 



+ 4{/ <2 :r: +/ rr- +r rr-+...}cos^ . 

 + 



i < % 



På grund af denna utveckling inses omedelbart att i allmänhet, d. v. s. om 



r? C + f;' C + y? IT + • • • = o 



eller med stöd af eqvationerne (9) och (10) 



1 T-l(2) Jim , 1 y(4) jr- 1 '*' , 1 y-l(6) y-i(6) , <-, 



T £ ™ l «• + Y l » 1 » + 3" J « z «■ + • ■ • — : U 

 För den händelse då i = z' har man åter 



4{rr J c+rrir+)'rjr+---} = i 



Uttryckes äfven här /-koefficienterna medelst i 1 i enlighet med eqvationerne (9) 

 och (10), så erhåller man i stället för ofvanstående eqvation följande 



»ly r * r * + T r « r « + T F « r « + • • ■) =T ITT 5 



På liknande grunder kunna äfven de serier, som i föregående § blifvit betecknade 

 med E'^), summeras. För sådant ändamål differentiera vi den andra af eqvationerne 



(II) i afseende å am — x, samt erinra oss dervid att i allmänhet 



i/Ii) _ df(x) n 



dx ~ 2K dä J 



dam x 



• n 



men enär 



2K 



dam ^ X 2K 2K 



—dx— = V Aam IT X 



och 



i 



A 2K 



71 



1 A 2K l "\ 



= T Aam V (* — T)» 



så blifver 



(40 -ar^TS**" 1 ^ — -»! 



dam — x 

 n 



n \ dfix) 



d.r 



Med stöd af denna formel finna vi nu 

 f- £ Cos 2m; Aam ? (a — ,f )= 2 {.2of Cos 2am "»+ 4of Cos 4om ^ + 6<° Cos Gam ™w +...} 



