36 H. GYLDEN, INTEGRATION AE VISSA DIEEEUENTIALFOEMLEK. 



Uttryckes här Cos 2am — x, GosAam — x, o. s. v. medelst Cosiner för multipler 

 af vinkeJi x, så framgår följande relation 



§ f K Cos 2ix Aam £ (» - f )' = 2{2<" rf + 4<" T- + 6<' ; C + . . .} 



+ 4{2<° IT + 4of I?' + 6<° rf + . . .} Cos 2* 

 + 4{2<° r 2> + 4<" T- + 6<° -C +..".,} Cos 4* 

 + 



hvilken lätt leder till ändliga uttryck för summorna till höger om likhetstecknet. 



För att emellertid erhålla de resultat, hvilkas härledning åsyftas, under den 

 enklaste form, införa vi följande beteckningar 



"" ^k = 2C«„ ■ Sin 2x + 2fj!?„, ., Sin Ax + 2tj\. , Sin 6* + . . . 



I dam ib I 



\ A* / 



'" c £rh = Ö -U o + 2 #V . Cos 2 *' + 2Ö - ». * Cos 4a; + 2 C . Cos 6* + . . . 



/, 2iC \ 2 



I rtarn — x I 



(48) ^ + * 



I dom — *' I 



2g ^^+i = 2ö_ (2v+1)i2 bin 2« + 20_ (2V + 1) , 4 bin 4ä + 2<9_ (l , 2 + 1) , , Sin 6« + . . . 



/ , 2 * \ 2 



dam X I 



l\ re / 



Med stöd af detta beteckningssätt finner man följande allmänt gällande sunima- 

 tionsformel, der ff-koefficienterna blifvit utbytta mot f-koefficienter på grund af den 

 andra af eqvationerne (9). 



^ i2i , = 4i{F™ F% + F? F? + IT F™ + ...} 



Jemföres detta resultat med den första af eqvationerne (38), så visar sig ögon- 

 blickligt att 



e'(o) -= y: h2i . 



På ett liknande sätt finner inan genom differentiation af den första af eqvatio- 

 nerne (II) 



r, 2i , = — Ai{2™ 2™ + 2^ 2% + 2£ 21? + ...}; 



således med stöd af eqvationerne (10) 



a - '■ «' ~~ 1 + q™ ' 1 + q™ 'I- >■ «' 



Genom upprepade differentiationer af eqvationerne (II) erhåller man vidare på den 

 redan beträdda vägen: 



»?_ Wl «. = (— 1) 4i{2 l. 2i -i 2 . +4 i' 2i -a w +6 i „ -a». + . . •} 



(49) 



2y, 2i' 



/ i \u J •frtS» n<2> nli) it» T"iU) n(4) . /»«* r><6> r>(6) , 



i 



»£»+„.„ = (- i) r 4»{2 1 " C C + r r- r- + 6 W ir r- + ■ 



. "- 21/, 21 1 + „« ' 1 _ „«' '/» IV, tV 



"- (2* + 1), W " 1 + o 21 ' 1 + n' e I- <**■ + '). 



1 + 2 2 ' ' 1 + 2 W ^ _ <2 " 



af livilka den tredje eqvationen förlorar sin betydelse då v = 0. 



