40 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



Den allmänna formen för de högre differentialkoefficienterna finner man sålunda 

 vara följande, der i betecknar ett helt tal: 



/,m d<f(x ) _ ln_\> i p „> dff) p „.) d?j\x) p< „ d'f(x) \ 



\ Ö{J ) , 2K V — \2A' V > dx +Jr * äx* + • • • + l >■ rf* 2 | 



I dam — x I 



och der vi med P['\ P'f, o. s. v. betecknat rationella sammansättningar af enkla elliptiska 

 funktioner. För bestämningen af dessa koefficienter differentiera vi ofvanstående eqva- 

 tion och erhålla sålunda med hänseende till relationen (47) 



d>+ l f{x) _ /_£L\' +1 f 1 dPl^ dj\x) J Pf';> d 2 f(x) 



I 2K \+l ~~ \2K\ l 



dam X I 



\ « / 



2K . +1- \ 2KJ { 2K dx dx 2K <te 2 

 \A_am — X Aam X 



1 dP' 2 ° d 2 f(x) P|" d?f(x) 



„ 2K dx ' dx 2 2K ' dx 3 



A am — x Aam — x 

 n n 



+ . . . . 



1 rfj*» d'f(x) ffl d' +l f{x) 



+ A 2K dx ' dx 1 ' + A 2K <te ,+1 



Aa»* *- A"»» — X 



71 7T 



Insattes i den föregående eqvationen < + 1 i st. för ' samt jemföras koefficienterna 



i den sålunda uppstående eqvationen med de i den sednast erhållna, så framgå föl- 

 jande relationer 



pH 



_ 1 dPJ» 



2K dx 

 A am — X 



pU+U 1 I pil-) , dP\P\ 



r "- 2k y > + rf.* f 



Aam — x 

 n 



p(M-U _ _ __1 f p(0 , äP^\ 



r * ~ . 2K Y* ^ dx | 



Aam - 



ptH-D _ 



'+ 1 2X 



A«™ — * 



71 



Medelst dessa formler härleder man efterhand följande uttryck för de ifråga- 

 varande P-funktionerna, af hvilka de första redan äro gifna i den föregående fram- 

 ställningen, 

 pf> i 



1 i 2K 



Aam — X 



71 



70 ~. 2K 2K 

 „ k' Sin am — X (Jos am — x 

 pf> 2K n tc__ 



' " ti 1 4 2K \3 



I /\am — X I 



rt!) __ 1 



2 /a ' 3ff Y 



I Aam — a; I 

 p 3> _ /2/?\2 |_ 3&' 2 _ 2(1 + 7 C ' 2 ) J | 



1 \ ^ I { / A 2 ^ \ 5 / A 2K \ 3 A 2A ' f 



\ Aam — X\ l Aam — X] Aam — x\ 



\ \ n } . \ n I 71 J 



