48 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DTFFERENTIALFORMLER. 



t d»> 4.2 2 ? /-,». »+') o- f. 4 ,4 2 o 2 /->((., «+d o- < 4 . 6 2 g 3 ^(,,,,,+d c . „ 



-r ,_ ( „ +l = i^r^ y 2 bin 2a; — j^j Q 4 bin 4» + j^s t2 8 . Sin 6« — . . . 



(54) eller 



i J „_ ( „ + , ) = j-^^5 Q 2 Sm 2x — j-^ U 4 Sin 4« + j^p^ Q 6 Sin bx — . . . 



dervid af de båda paren alternativa formler de förra gälla för jemna '-värden, men de 

 sednare för udda. I båda händelserna äro Q-koefficienterna angifna medelst följande 

 uttryck 



(55) i 



I" 04 »' ^ \ 77 / 1 . + n £"+"+' + , + n— 2 ' &"+"-■ + / + n — 4 ' fc"+»-* + • • 7 



Vi återgå nu till eqv. (50) och insätta i densamma 2v och 2v + 1 i stället för ', 

 samt Sin 2ias och Cos 2i« i stället för /(#). Resultaten af dessa substitutioner leda 

 omedelbart till den independenta bestämningen af de med i] och betecknade koeffi- 

 cienterna. Man finner nämnligen med hänseende till de ofvan funna utvecklingarna 

 för P-funktionerna: 



d 2 " Sin 2ix I n \2» f~-r4.2 2 a /.w.im) o- o 4 ■ 4 V /V 2 *' 2 "-'> C- A , 1 n o ■ 



-, 2^-T^r = I 2^1 {2^ I j-^s C2 2 • Sin ^x—^zzr* ^ 4 ■ Sm 4# + . . .1 Cos 2ix 



I dom x 1 



- r 2 ? ? [ar ■ 2v ~ v - r 1 ^ ar 2,, ~ 2) • cos 2^ + ~f t ar 2 *~ 2) • cos 4* - . . .] sin 2» 



- (20 3 [ri?^ Q; 2 '" 2 "" 3) • Sin 2x - \^ QT w_3> • Sin Ax + . . .] Cos 2ix 



+ (2iY [QT 2 "- 4> - j^ öf" 2 "- <> • Cos 2ar + ^ QT 2 "~" • Cos 4* + . . .] Sin 2ix 



d lv Cos2ir I ti \3r f . f 4 . 2 2 o ^(j,,, 2 „_ i> . ,, 4 . 4 2 o 2 ,-.(«. 2,.— 1> o- , 1 o- o' 



"7 2Z-\^= (mt) {— -'* r^Q, • Sin 2x - r ^j a 4 -Sin4«+ ...JSin2ia; 



I dam — a; I 



- (2ij' 2 [ar" 2T - 2) - j%^ a: 2 '" !,, - 2) • c os 2* + ^éj ar 2 * -2> • c os 4* - . . .] c os 2^ 



+ (2^) 3 [1^ ar'" 2, '" 3> • Sin 2^ - j^ ar" 2 "" 3) • Sin 4^ + . . .] Sin 2m 



+ (2iy [a 1 ;'" 2 ' ,_4> - T&j QT 2 " _2) • Cos 2x + ^ af ^" • Cos Ax - . . .] Cos 2u' 



r^ n ^ = (ö 2, ' +1 {2^ [ar w - r^ ar ' 2 " ) • cos 2x + ^ är 2m • c os ^ - . . .] c os 2» 



I dam x 



- (2i) ä [j-Jp a^' +, ' ^, '-' , • Sin 2^ - ^ ar' + '' 2 " _I> • Sin 4* + . . .] Sin 2ix 



- (2if [ar , ' 2, '" 2, -r^C'' +1 ' 2 " 2> -Cos2* + r ^ar + '' 2 ^ 2> -Cos4^- ...]Cos2^ 

 + (2i) 4 [r^s ar + ' ,2 " _3) • Sin 2^ - j^ Q<;^«— » . Sin 4* + . . .] Sin 2« 



