58 H. GYLDÉN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



I ^T^ -i = (— 1)" 2 {2 2 " +1 <" Cos 2am ^ x Cos 2t + 4 äm <" Cos åam 2 -§ x Cos 4* + . . .} 



- (— 1)" 2 {2 2 * +1 <" Sin 2am 2 -f x Sin 2< + 4 2 " +l <" Sin 4aro ^ x Sin 4< + . . .} 



Detta uttryck leder omedelbart till den sökta summationsformeln. På grund af 

 eqvationerna 



jTI!"' = — Cos 2n am — x Cos 2i'x dx 



nj 



o 



TV 



1 /* . 2K 



= — Sin 2n am — x Cos 2i'x dx 



erhåller man nämnligen 



( 61 ) I i ^11"^. Cos 2fa . tte = C— 1)" 2 {2 2 " +1 <° C Cos it + 4 2 " +1 a™ r<:' Cos 4* + . . •} 



= {— 1)" ii {2 2 " r™ r< 2 ' Cos 2t + 4 2 " if C Cos 4t + . . .} 

 medelst hvilken formel den ifrågavarande summationen är verkstäld. 



Det vigtigaste bruk, som af denna formel kan göras, består emellertid icke i en 

 direkt utveckling af den förelagda integralen, utan endast i en sönderdelning af den- 

 samma, hvarigenom serien till höger om likhetstecknet reduceras till en följd af ana- 

 loga serier, hvilka dock icke innehålla termer, multiplicerade med positiva potenser af 

 de hela talen 2, 4, o. s. v. — Ifrågavarande sönderdelning verkställes med stöd af den 

 tredje af eqvationerna (48). 



Man erhåller nämnligen genom substitution af utvecklingen för -, %z viv+i. föl- 



I dam — y I 



jande relation 



n tt, ti 



(62) f, ^' + 2? n ff + i Cos 2%x dx = »?!! (W+1) , n /Cos 2i'x dx + 2Cr,^,, fcos 2y Cos 2%x dx 



J I dam y \ J J 



\ 71 S I 



ID 71 



+ 2»?!!! <w+ „, 4 I Cos 4y Cos2i'x dx + 2rj" (2v+1)6 I Cos 6y Cos 2i'x dx + . .. 



o o 



Nu är dock, om s betecknar ett helt tal, 



Cos 2sy = y™ + 2yT Cos 2am J * Cos 2i + 2yT Cos 4am ^a Cos 4t + . . . 



- 2jC Sin 2am^x Sin 2f - 2/;" Sin4am ^x Sin 4* + . . ., 



af hvilken eqvation omedelbart inses, att 

 ii 



(63) \ fcos 2sy Cos 2t* dx = 2{yT T% Cos 2* + /f C Cos 4< + . . .} 



= 4s{y 2:™ C Cos 2* + -J- 2^' V:? Cos 4* + . . .} 



= 4s \=$ {| C T™ Cos 2t + ~ C C Cos 4t + . . .} 



