60 H. GYLDEN, INTEGRATION AF VISSA DIFFERENTIALFORMLER. 



n n 



— Cos 2s y Cos 2i'x dx = ^ I ~^2^ Sin 2i'x dam — x 



J J dam — y 



dam — y 

 o n 



Sin 2i'x Aam — x . dx 



71 41 1 6K 71 



t/ dam x 



o n 



Riktigheten häraf beror i främsta rummet derpå, att t vid dessa integrationer 

 får betraktas såsom en konstant, hvarföre 



d . am — x = d. am — v 



Man finner nu 



TI 



}T — 2g° v-v-h ^ os ^ x dx = 2 ^-w«.2 - IT" 27/ — ~2~k~ Sin ^ x A «™ ~§ % dx 



J ( dam — ?/ 1 J dam — y 



(dam — ?/ 1 

 71 J f 



+ 2rfl {2v+1)li * — 'g; I — ^r Sin 2i'x Aam -§ x dx 



J dam h 



n n J 



+ . . . 



2K 



Substitueras för Aam — x den bekanta serieutvecklingen, så erhålles resultatet i 

 form af en dubbelserie, nämnligen 



71 71 



- fr^w^i Cos 2i ' x dx = zz <■■ /t^ Sin 2s ' xdx 



J I dam y J dam — y 



der koefficienterna äro på följande sätt sammansatta 



> - i „™ ) 2g f -' _ 2/+' j 



c = t«? 



j- i— (2JM-1), 2a ^1 + j" — I 



f 2g'- 2 2g' +2 1 



« W _ i <o f_2j 2g»-' | 



e <«> _i«« fi v i 



B <"> - 1 „« i -J*_ _ _?£!1 \ 



C .,2l+2 - j' '/— C2„ + l),2»\l _j_ j2 1 + 2 * ; + 2 J 



O. s. v. 

 Vidare erhåller man genom omedelbar differentiation 



dam — y 



yp : _ 2{2yf s) Sin 2am ~ x Cos 2t + 4yf } Sin Aam -f ar Cos 4* + . . .} 

 - 2{2yf s) Cos 2an» ^ * Sin 2t + Ay? s) Cos Aam ^ x Sin 4* + . . .} 



