KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. II. N:0 9. 61 



hvaraf följer 



1 Acos^ g. n 2s , x dx = __ 2{2 ^ 2s; 2$ Cos 2t + 4y c*, ^w Cos 4 * + . .' .} 



o ti J 



- 4s {^g J -£0 Cos 2t + JSg> ^ Cos 4* + . . .} 



= -4 a ^..i=^{rffrscos2*>il?röCös4* + ...} 



Med hänseende härtill finner man 



_1_ f <J 2 " +1 Sin 

 t7 I <fam t 



l g$ä Cos 2?« .dx = ZZ ås e'%, ^ • ^ {rff JT© Cos **....} 



hvarvid snmmationen såväl i afseende på s som på s' bör utsträckas från 1 till ». 

 Det sednast funna uttrycket leder till följande reduktionsformel: 



2 2 " r<*' T™ Cos 2* + 4 2 * Jf /l 4 .' Cos åt + . . . 



= (- 1) -f J^ <>, ^ . ^ {rg> rf) Cos 2* + i? s > r® Cos 4* + . . .} 



hvilken, insatt i eqvationen (60) omedelbart låter följande resultat träda i dagen: 



(65) F\ , (*, jp) = (- 1)" 4- -SS <, izÄ . J=g ^; , ( , p ) 



I stället för denna dubbelserie kan man äfven härleda en enkel sådan, och finner 

 denna lättast direkt ur den första af eqvationerna (48). Differentierar man nämnligen 

 ifrågavarande likhet, så erhålles 



d 2 "+'Sin2ty _ 9 m dSm2y „ <,-, dSmly 



/ 2K \»*+l Z 'l-iv,2 2K Z/ /=r+i,4 2X i "--'J 



I dam — v I aam w äam « 



\ 7T a / 71 " TT s 



multiplicerar man vidare denna eqvation med Cos 2ix dx, samt integrerar resultatet 

 emellan gränserna och ti, så erhålles med stöd af eqvationen (61) 



(— 1)" i{2 2 " C r£ Cos 2* + 4 2 " r: 4) C Cos åt + . . .} 

 = 1 . 2C {C C Cos 2* + F™ Ti 4 .' Cos 4* + . . .} 



+ 2 . 2t„ {r™ C Cos 2t + r 4) r;;.> Cos åt + ...} 

 + 



och härmed finner man slutligen i enlighet med eqv. (60) 



(M) F\, , {p, p ) = (-iy\Zs. 2v%, 2s K e (o, p) 



en likhet, hvars analogi med eqv. (64) är uppenbar. 



Medelst formlerna (65) och (66) har beräkningen af funktionen F'(v,2)) blifvit 

 reducerad till beräkningen F'(o,p), hvarvid de i §§ 8 — 10 anförda methoder med större 

 fördel kunna användas. De sistnämnda funktionerna kunna likväl äfven hänföras till 

 analoga funktioner med negativ »'-index, hvilkas numeriska värden än lättare erhållas 

 på grund af den större konvergensen hos serien 



